\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Bordeaux juin 1987},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1987}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par : 

\[f(x) =(x +1)^2 - (3x - 2)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $a = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$.

Démontrer que :

\[a^2 = a + 1 \qquad \text{et} \qquad \dfrac 1a = a - 1.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Quels sont les nombres entiers strictement négatifs solutions de l'inéquation :

\[\dfrac{3x+2}{5} - \dfrac{2x + 1}{3} \leqslant \dfrac{x + 4}{3} ?\]

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\emph{Les trois premières questions sont indépendantes}

\medskip

Placer dans le plan deux points A et B distants de $4$~cm. 

Tracer le cercle $\mathcal{C}_1$ de centre A et de 4 cm de rayon. 

Tracer le cercle $\mathcal{C}_2$ de centre B et de 4 cm de rayon.

On désigne par :
\begin{itemize}
\item E et F les points d'intersection des cercles $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ ;
\item C le deuxième point d'intersection de la droite (AB) avec $\mathcal{C}_1$ ;
\item D le deuxième point d'intersection de la droite (AB) avec $\mathcal{C}_2$ ;
\item H le point d'intersection des droites (AB) et (EF).
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que représente la droite (AB) pour le segment [EF] ? 

En déduire que le point C est équidistant des points E et F.
\item Quelle est la nature du triangle BEC ? 

Calculer la distance CE.
\item Démontrer que AEBF est un losange. 

Calculer les distances EH, puis EF.
\item Déduire des questions précédentes la nature du triangle CEF.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, placer les points :
A de coordonnées (3~;~2), B de coordonnées $(5~;~-1)$, C de coordonnées $(2~;~-3)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{OC}}$ sont orthogonaux.
		
Calculer les distances AB et BC.
		\item Que peut-on en déduire pour la nature du triangle ABC ?
		\item Quelle est la nature du quadrilatère OABC ?
	\end{enumerate}	
\item Déterminer une équation de la droite (AB).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $(\Delta)$ d'équation : $5x - y = 0$.
		\item Démontrer que les droites $(\Delta)$ et (AC) sont parallèles.
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection D de droites $(\Delta)$ et (AB).
		\item Démontrer que OCAD est un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}