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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous la forme $a\sqrt b$ (où $a$ et $b$ sont des entiers) le nombre 

\[E = \sqrt{75} + 3\sqrt{12}  - 4\sqrt 3.\]

Calculer : 

\[F = 3\left(3 - 2\sqrt 3\right)^2 ;\]

\[G = \left(\sqrt 5 + \sqrt 2\right)\left(\sqrt 5 - \sqrt 2\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre les équations:

$x - 2(3x - 8) = 0 $;

\medskip

$(x-2) (3x - 8) = 0$ ;

\medskip

$(x - 2)(3x - 8) = 16$ (on pourra développer le premier membre).

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une entreprise de menuiserie fabrique $150$ chaises par jour ; elle produit deux sortes de chaises, les unes vendues $250$ F pièce, les autres $400$ F pièce. On désigne par $x$ le nombre de chaises à $250$ F fabriquées chaque jour.

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ le nombre de chaises à 400 F{}.
\item L'entreprise souhaite que le montant des ventes soit stricte- ment supérieur à \np{48450}~F par jour et elle veut fabriquer plus de chaises à 250 F que de chaises à 400 F.

Combien doit-elle fabriquer de chaises à 250 F par jour?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Dans un cube ABCDEFGH, on considère la pyramide de sommet A, de base EFGH, de hauteur AE.

On donne: AB $= 6$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner en vraie grandeur les faces AEH et AHG
(le triangle AHG est rectangle en H).
\item Calculer la longueur exacte des arêtes [AH] et [AG].

(on admettra que le triangle AGE est rectangle en E).
\item Déterminer, à $0,1\degres$ près, la mesure des angles $\widehat{\text{AFE}}$ et 
$\widehat{\text{AGE}}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.39\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,6)
\psframe(0.2,0.2)(4,4)%EFBA
\psline(4,0.2)(5.4,1.6)(5.4,5.4)(4,4)%FGCB
\psline(5.4,5.4)(1.6,5.4)(0.2,4)%CDA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.6,1.6)(5.4,1.6)(0.2,4)%EHGA
\psline[linestyle=dashed](4,0.2)(0.2,4)(1.6,1.6)%FAH
\uput[l](0.2,4){A} \uput[r](4,4){B} \uput[ur](5.4,5.4){C} \uput[u](1.6,5.4){D}
\uput[dl](0.2,0.2){E} \uput[dr](4,0.2){F} \uput[r](5.4,1.6){G} \uput[l](1.6,1.6){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure ci-après, l'unité de longueur est le centimètre.

On donne: AB = 7,5 ;\quad BC = 9 ;\quad AC = 6 ;\quad AE = 4 ;\quad BF = 6.

Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD.
\item Les droites (EF) et (AB) sont-elles parallèles? Pourquoi ? 

Calculer EF.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(15,10)
%\psgrid
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,0.2)
\psline(0,0.2)(12.6,0.2)(8.1,8.4)%FCE
\psline(7.8,8.4)(14.5,8.4)%ED
\psline(5.3,0.2)(13.2,9.2)%BD
\uput[r](9.9,5.3){A} \uput[d](5.3,0.2){B} \uput[d](12.6,0.2){C}
\uput[ul](12.5,8.4){D} \uput[ur](7.8,8.4){E} \uput[d](0,0.2){F}
\end{pspicture}
\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item 
%\end{enumerate}

(La figure ci-dessus n'est pas en vraie grandeur.)

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

A, B, C sont trois points distincts d'un cercle de centre O et [AD] un diamètre de ce cercle. 

On complètera la figure fournie au fur et à mesure de la résolution du problème.

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\pscircle(0,0){1.5}
\psline(1.5;100)(1.5;280)%AD
\pspolygon(1.5;100)(1.5;210)(1.5;-30)%ABC
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,0)
\uput[r](0,0){O} \uput[u](1.5;100){A} \uput[dl](1.5;210){B} \uput[dr](1.5;-30){C} \uput[d](1.5;280){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des triangles ABD et ACD ?
\item La parallèle à (BD) passant par C coupe (AB) en E.

Démontrer que (CE) est une hauteur du triangle ABC.
\item La perpendiculaire à (BC) passant par A coupe le cercle en A et J, la droite (CE) en H et la droite (BC) en I.
	\begin{enumerate}
		\item Que représente H pour le triangle ABC?
		\item En déduire que (BH) est perpendiculaire à (AC).
		\item Montrer que (BH) est parallèle à (CD).
	\end{enumerate}
\item Démontrer que BHCD est un parallélogramme. 

On appelle K le point d'intersection de ses diagonales.

Que représente K pour le segment [HDJ ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ADJ ? 
		
En déduire que (CI) et (DJ) sont parallèles.
		\item Montrer que J est le milieu de [HJ] (on pourra utiliser le triangle HDJ, après avoir précisé la position de K sur le segment [HD]).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}