\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Bordeaux septembre 1952},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{septembre 1952}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Dans un triangle isocèle ABC, la base [BC] mesure $10$~cm et la hauteur [AH] mesure $12$~ cm.

Par un point I pris sur [AH] entre A et H on trace la parallèle à (BC), qui coupe le côté  [AB] en M et [AC] en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AB.
		\item Exprimer les rapports $\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}},\: \dfrac{\text{BM}}{\text{BA}}$ et la somme $y = $BM + MN + NC en fonction de HI $= x$.
		\item Calculer $x$ de manière que $y = 22$~(cm).
	\end{enumerate}	
\item Représenter graphiquement les variations de la fonction $y = \dfrac{4x}{3} + 10$.

Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle BM + MN + NC $= 22$~(cm) (sur chaque axe, représenter 1 cm par $5$~mm).
\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle la somme BM + MN + NC est égale à une longueur donnée $m$ ?

Comment prendre $m$ pour que le problème soit possible ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

2 cm On


On porte bout à bout sur une droite, deux segment AB $=2,5$~cm et BC $= 6$~cm ; puis on trace d'un même côté de (AC) les perpendiculaires A$x$ et C$y$ à cette droite sur lesquelles on porte AP $= 2$~cm et CM $= 7,5$~cm.

On trace [BM] et [BP].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles BAP et  MBC.
\item Démontrer que le triangle PBM est rectangle et calculer son aire.
\item Soit H la projection de B sur (MP) ; que pensez-voue des quadrilatères PABH et BCMH ?
\item Nature du triangle AHC.
\end{enumerate}
\end{document}