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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle ~\decofourright}\\[7pt]Bordeaux septembre 1971\\[7pt]

MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

Académie de BORDEAUX

Session de remplacement

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}
\bigskip

Soient les expressions

\begin{center}$A(x) = (x - 3)(3x - 1)^2$\qquad $B(x) = (x - 3)(x + 2)^2$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Mettre la différence $A(x) - B(x)$ sous forme d'un produit de trois binômes en $x$ du premier degré.
\item Simplifier la fraction $F(x) = \dfrac{A(x) - B(x)}{\left(4x^2 - 9\right)(4x + 1)}$.

On obtient la fraction: $F'(x) = \dfrac{x - 3}{2x + 3}$

\item Résoudre l'équation $F(x) = 1$.

\item Par rapport à  un système d'axes perpendiculaires (unité : 1 cm sur chaque axe), construire les représentations graphiques $\left(C_1\right)$ et $\left(C_2\right)$ des fonctions:

\[y = x - 3 \qquad \text{et} \qquad y = 2x + 3.\]

\item Comment peut-on, graphiquement, vérifier le résultat de la troisième question ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE  -- Problème}
\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ ; le rayon [OC] perpendiculaire à (AB) et le point M, milieu de l'arc $\wideparen{\text{AC}}$.

On trace la corde [MN] perpendiculaire à (OC) en H.

La corde [BM] coupe (OC) en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle PMC est isocèle.
\item Démontrer que les triangles PMC et COM sont semblables et que $\text{CM}^2 = \text{CP} \:\cdot \:\text{CO}$.
\item Montrer que le triangle rectangle MHO est isocèle.

En déduire la longueur de [HO] en fonction de  $R$.
\item Calculer les longueurs CH, CP et CM en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}