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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

Les trois exercices sont indépendants.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression:

\[A(x) =(3x - 4)(x- 6) - (x - 6)(2x + 7) - 3x(x - 6)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A(x)$
\item Factoriser $A(x)$
\item Résoudre l'équation $(x - 6)(- 2x - 11) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\left(2 \sqrt 3 \right)^2$ et $\left(2 \sqrt 3 \right)^3$.
\item Le nombre $\left(2 \sqrt 3 \right)$ est-il solution de l'équation 

\[ x^3 - x^2 - 12x + 12 = 0 \: ?\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un cycliste et un motocycliste partent d'un même point et veulent arriver en même temps en un même point distant de $25$ km du point de départ.

Le cycliste roule à $20$ km/h et le motocycliste roule à $50$ km/h.

Le motocycliste part à $10$~h $30$.

Donner l'heure du rendez-vous et l'heure de départ du cycliste.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) placer les points A$(1~;~- 1)$, B(3~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que OAB est un triangle rectangle.
\item Placer le point D tel que $\vect{\text{OD}}. = \vect{\text{AB}}$.

Calculer les coordonnées de D.
\item Quelle est la nature du quadrilatère OABD ?
\item Soit C$(- 2~;~- 4)$.

Démontrer que C appartient à la droite (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Tracer un rectangle ABCD tel que AD  $= 6$ cm et DC  $3 =$ cm. On note $\alpha$ la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AC.
\item Calculer les valeurs exactes de $\cos \alpha,\, \sin \alpha$ et $\tan \alpha$.
\item Soit $\Delta$ la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC).

La droite $\Delta$ coupe (BC) en N.

Démontrer que la mesure de $\widehat{\text{AND}}$ est $\alpha$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Tracer un cercle (C) de centre O. Tracer un diamètre [AB]. Tracer le cercle (C$'$) de centre B et de rayon BA.

La droite (AB) coupe le cercle (C$'$) en A et E.

Placer un point C sur le cercle (C$'$) distinct de A et de E.

La droite (AC) coupe le cercle (C) en A et D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABD ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
		\item Démontrer que la droite (BD) est la médiatrice du segment [AC).
	\end{enumerate}	
\item Soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AE).

Démontrer que C, D, B et H appartiennent à un cercle (C$''$) dont on indiquera le centre I.
\item Démontrer que (ID) $\parallel$ (AB)

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comparer DI et AB.

En déduire que AE = 4 DI
		\item La droite (El) coupe (AC) en K. 
		
Démontrer que EK $= 4$ KI.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}