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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux  juin 1995~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\emph{Les exercices suivants sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les valeurs exactes des nombres suivants (on donnera les 
résultats sous forme fractionnaire irréductible).

\[A = - \dfrac75 \times \left(3 -  \dfrac{8}{21}\right), \qquad ) ; B = \left(2 -  \dfrac13\right) : \left(5 + \dfrac56 \right).\]


Ecrire les nombres suivants sous la forme $p\sqrt 3$ où $p$ est un entier relatif. 

\[C = \left(6 + 2\sqrt 3\right)^2 - \left(4\sqrt 3\right)^2 ;\qquad  D = \sqrt{27} +7 \sqrt{75} - \sqrt{300}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E = (4x + 5)^2 - (3x - 2)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $E$ et réduire.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(7x + 3)(x + 7) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y &=& 18\\
x + 4 y &=& 19
\end{array}\right.$
\item Dans un concours hippique un cavalier est pénalisé :

$\bullet~~$quand le cheval refuse de sauter un obstacle ;

$\bullet~~$quand le cheval fait tomber la barre.

Le cheval de Pierre a fait 2 refus et a fait tomber 3 barres pour un total de 18 points de pénalité.

Le cheval de Jean a fait 1 refus et a fait tomber 4 barres pour un total de 19 points.

Combien de points coûte un refus ? Combien de points coûte la chute d'une barre ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit (O, I, J) un repère orthonormal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, D, E, qui ont pour coordonnées :
\begin{center}
A$(- 4~;~- 2)$,\quad D(8~;~2),\quad E(0~;~6).\end{center}
\item Calculer les distances EA, ED et AD. 

En déduire la nature du triangle AED.
\item Montrer que le point B de coordonnées (2~;~0) est le milieu du segment [AD].
\item Écrire une équation de la droite (EA).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Un jouet (nommé culbuto) est formé d'une demi-boule surmontée d'un cône comme l'indique la figure ci-contre.

 %fig

On donne AB $= 10$ cm et BC $= 12$ cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.6)(2.5,3.2)
\psarc(0,0){2.5}{180}{360}
\psellipticarc(0,0)(2.5,0.6){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.5,0.6){0}{180}
\uput[ur](0,3){A} \uput[l](-2.5,0){B} \uput[r](2.5,0){C} \uput[ul](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](-2.5,0)(2.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-2.5)(0,3)
\psline(-2.5,0)(0,3)(2.5,0)
\psframe(0,0)(0.2,0.2)
\end{pspicture}

\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance AD.
\item Quel est le volume du jouet arrondi au cm$^3$ près ? Rappel :

$\bullet~~$Volume de la sphère de rayon $R$  : $V = \dfrac43 \pi R^3$.

$\bullet~~$Volume d'un cône de révolution d'aire de base $B$ et de hauteur $h$ : $V = \dfrac13 Bh$.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ au degré près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

$C_1$ est un cercle de centre O et de rayon 7,5 cm. [AB] est un diamètre de $C_1$.

E est le point du segment [OB] tel que OE $= 5$ cm.

$C_2$ est le cercle de centre E passant par B ; il recoupe [OB] en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire la figure.
		\item Construire un point M de $C_2$ situé à 4 cm de B.
		
La droite (BM) coupe C1 en P.

Quelle est la nature du triangle NMB ? Celle du triangle APB ? Justifier les réponses.
	\end{enumerate}
\item Calculer la distance MN.
\item Démontrer que les droites (AP) et (NM) sont parallèles.
En déduire la distance BP.
\item Démontrer que les droites (PO) et (ME) sont parallèles.
\item La droite (PO) coupe $C_1$ en K. (PN) coupe (BK) en I.

Évaluer le rapport $\dfrac{\text{BN}}{\text{BO}}$ ; en déduire que N est le centre de gravité du
triangle PKB.

Démontrer que I est le milieu de [BK].
\end{enumerate}
\end{document}