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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Bordeaux  juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$, $B$ et $C$ (faire apparaître les étapes de chaque calcul et
donner les résultats sous la forme la plus simple possible) :

\[A= \left(\dfrac38\right)^2 - \dfrac18,\qquad  B= \left(3 \sqrt{5}\right)^2 + 2\left(25 + \sqrt{45}\right),\qquad C = \dfrac{- 2,4 \times 10^7  \times 8  \times 10^{-9}}{3  \times 10^{-3}}\]

\item 
\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des nombres $A$ et $B$ ?
\item Que peut-on dire des nombres $B$ et $C$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire l'expression : $D = (2 x + 5)(3 x - 1)$.
		\item Développer et réduire l'expression :
		
		\[E = (x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2.\]
		
\textbf{Application :} Déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs,
$(x - 1)$, $x$ et $(x + 1)$ dont la somme des carrés est \np{4802}.
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser l'expression : $F = (x + 3)^2 - (2x + 1)(x + 3)$.
		\item Factoriser l'expression : $G = 4x^2 - 100$.
	\end{enumerate}	
	
\textbf{Application :} Déterminer un nombre positif dont le carré du double est
égal à 100.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Antoine dit à Thomas : \og Si tu me donnes \ldots billes, j'en aurai
autant que toi\fg. 

Thomas réplique : \og Si je t'en donne \ldots , tu en auras \ldots  fois
plus que moi\fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Observer la mise en équations de ce problème :

Soit $a$ le nombre de billes d'Antoine, et $t$ le nombre de billes de Thomas :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
a+ 6 &=&t - 6\\
a + 10&=& 2(t - 10)
\end{array}\right.\]

Recopier l'énoncé du problème en le complétant par les nombres qui
manquent.

\item Calculer le nombre de billes d'Antoine et de Thomas.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,I, J) ; l'unité graphique est
le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(2~;~1), B(5~;~6) et C$(- 3~;~-2)$.
\item Démontrer que le triangle ABC est isocèle en A.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite D passant par A et de coefficient
directeur $(-1)$.
		\item Démontrer que le point D(0~;~3) appartient à la droite D.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que D est l'image de C par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ACDB ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
L'unité de longueur est le mètre.

Un réservoir d'eau a la forme d'un cône de révolution de sommet S, et de
base le disque de centre O et de diamètre [AB].

AB $= 5$,  SA $= 6,5$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur, arrondie au degré, de la mesure de l'angle $\widehat{\text{OAS}}$.
\item Démontrer que SQ $= 6$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte du volume de ce réservoir.
		\item Montrer qu'une valeur approchée de ce volume au millième près est
$39,270$~m$^3$.
	\end{enumerate}
\item Calculer le temps nécessaire (en heures et minutes) pour remplir ce
réservoir aux deux tiers de sa capacité, avec un robinet dont le débit est
de 35 litres par minute.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.2\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(1.5,0.6)
\pspolygon(-1.5,0)(0,-3)(1.5,0)
\psellipse(0,0)(1.5,0.4)
\psline(0.25,0)(0.25,-0.25)(0,-0.25)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](0,0)(0,-3)
\uput[l](-1.5,0){A} \uput[r](1.5,0){B} \uput[d](0,-3){S} \uput[u](0,0){O} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.
Soit un triangle ADB rectangle en D, tel que DA = 12 et DB = 16.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le triangle ADB.
		\item Calculer AB.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point C du segment [BA] tel que BC $= 8$.
		
Tracer le cercle (C) de diamètre [BC].
		
Le cercle (C) recoupe la droite (BD) en E.
		\item Démontrer que le triangle BEC est rectangle en E.
		\item En déduire que les droites (AD) et (CE) sont parallèles.
		\item Calculer EC et BE.
	\end{enumerate}	
\item On note M le milieu de [AB], et H le point d'intersection des droites
(EC) et (DM).
	
Calculer MC, puis CH.
\item La droite passant par B et perpendiculaire à la droite (DM) coupe la
droite (EH) en F.
	\begin{enumerate}
		\item Que représente le point H pour le triangle BDF ?
		\item En déduire que les droites (BH) et (DF) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}