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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Brazaville}}
\rfoot{\small{septembre 1960}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Brazaville septembre 1960}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

Dans un système d'axes rectangulaires $x'\text{O}x, y'\text{O}y$ on considère un point A situé dans l'angle $x\text{O}y$ (premier quadrant) et dont les coordonnées $\left(x_0~;~y_0\right)$ sont respectivement proportionnelles aux nombres 1,5 et 2.

D'autre part, on sait que  OA = 5 cm.

L'unité graphique, sur les deux axes, est 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées $x_0$ et $y_0$ de A.
\item Le point B ayant pour coordonnées (0~;~2), former l'équation de la droite (AB).
\item Trouver l'équation de la perpendiculaire $(D)$ menée de A à la droite (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}



\medskip

On considère un cercle de centre O et de rayon $R$.

Sur la tangente à ce cercle en un point T, on marque un point P tel que TP $= 2 R$.

On mène de P une sécante coupant le cercle en A et B (A est entre P et B) ; la droite (PAB) coupe le diamètre [OT] entre O et T.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $R$ la longueur OP et le produit PA $\times$ PB.
\item On suppose que la sécante (PAB) est telle que le
point A soit au milieu du segment [PB].

Calculer, dans ce cas, les longueurs PA et PB et la distance OH de O à la sécante (PAB).
\item Montrer que le triangle OAB est rectangle.
\item Déduire du 2. une construction à la règle et au compas des deux sécantes (PAB) telles que A soit le milieu de [PB] (la deuxième sécante ne passe pas entre O et T).

Montrer que l'une des deux sécantes ainsi obtenues passe par le point diamétralement opposé à T sur le cercle (O).
\end{enumerate}
\end{document}