\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.4cm, right=3.4cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor ={APMEP}, pdfsubject ={Brevet}, pdftitle = {Burkina Faso septembre 1987}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 1987} \rfoot{\small Burkina Faso} \lfoot{\small septembre 1987} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Burkina Faso septembre 1987 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{Travaux numériques} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Ranger du plus petit au plus grand, les nombres réels suivants: \[0,79\:;\qquad 10^{-2}\:; \qquad - \dfrac35\:; \qquad \dfrac45\:;\qquad - 0,63\] \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Les nombres $\dfrac25$ et $-2$ sont-ils des solutions de l'équation \[5x^2 - 12x + 4 = 0 \:?\] \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip $f$ est une application de $\R$ dans $\R$ définie par : \[f(x) = x(x +2)^2 - (3x - 1)(2x + 5) + 5(3 - 2x).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $f(x)$. \item Calculer $f\left(\sqrt 2\right)$. \item Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$ donner un encadrement de $16 - 17\sqrt 2$ à $10^{- 1}$ près. \item Une représentation graphique de l'application $f$ a été dessinée ci-dessous ; on l'appelle $(\mathcal{C})$. Lire sur ce graphique les abscisses des points d'intersection de $(\mathcal{C})$ avec l'axe $(x'x)$. \item Dans ce même repère, dessiner la représentation graphique de l'application $g \::\: x \longmapsto 5x + 20$ définie dans $\R$. \item Dessiner sur le graphique les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = g(x)$. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=6mm,yunit=0.6mm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-8,-30.1)(10,90.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100]{->}(0,0)(-8,-30)(10,90) \multido{\n=-8+1}{19}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-30)(\n,90)} \multido{\n=-30+10}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](-8,\n)(10,\n)} \uput[d](9.5,0){$x$} \uput[d](-7.5,0){$x'$}\uput[r](0,87){$y$} \uput[dl](1,0){1} \uput[l](0,10){10}\uput[dl](0,0){O}\uput[r](6.5,80){\red $(\mathcal{C})$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{7}{x 3 exp x dup mul 2 mul sub 19 x mul sub 20 add} \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \textbf{Travaux géométriques} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Soit AMB un triangle rectangle en M. L'unité étant le centimètre on suppose que l'on a : AB $= 6$ ; MB $= 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer AM. \item Calculer $\sin \widehat{\text{MAB}}$ ; en déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{MAB}}$. \item Soit C le symétrique du point B dans la symétrie orthogonale d'axe (AM). Quelle est la nature du triangle ABC ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Une boîte en carton ayant la forme d'un parallélépipède rectangle est dessinée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8.3,4.8) %\psgrid \psframe(0.2,0.2)(6.7,2.4)%HGCD \psline(6.7,0.2)(8,1.7)(8,3.9)(6.7,2.4)%GFBC \psline(8,3.9)(1.5,3.9)(0.2,2.4)%BAD \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.7)(8,1.7)%HEF \psline[linestyle=dashed](1.5,1.7)(1.5,3.9)(6.7,2.4)%EAC \pspolygon[fillstyle=hlines](3.5,3.9)(7.1,2.9)(7.4,3.2)(4.45,3.9)%IKLJ \uput[ul](1.5,3.9){A} \uput[ur](8,3.9){B} \uput[dr](6.7,2.4){C} \uput[l](0.2,2.4){D} \uput[l](1.5,1.8){E} \uput[r](8,1.7){F} \uput[dr](6.7,0.2){G} \uput[dl](0.2,0.2){H} \uput[u](3.5,3.9){I} \uput[u](4.45,3.9){J} \uput[dr](7.1,2.9){K} \uput[dr](7.4,3.2){L} \end{pspicture} \end{center} Ses dimensions sont, en centimètres : AB $= 5$ ;\: BF $= 2$ ;\: BC $= 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Un patron de cette boîte a été dessiné ci-dessous. Quelques sommets ont déjà été représentés sur ce patron. Représenter les autres. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4.7,5.1) %\psgrid \psframe(0.2,1.2)(4.3,2.6) \psframe(1.1,0.2)(3.4,4.8) \psline(1.1,3.4)(3.4,3.4) \uput[l](1.1,3.4){A} \uput[r](3.4,4.8){C} \uput[l](1.1,4.8){D} \uput[ur](3.4,2.6){F} \uput[l](0.2,1.2){D} \uput[r](3.4,0.2){C} \uput[r](4.3,1.1){C} \uput[r](4.4,2.6){\ldots} \uput[r](3.4,3.4){\ldots} \uput[l](0.2,2.6){\ldots} \uput[ul](1.2,2.6){\ldots} \uput[l](1.1,0.2){\ldots} \uput[dl](1.1,1.2){\ldots} \uput[dr](3.4,1.2){\ldots} \end{pspicture} \end{center} \item On décide de décorer la face ABCD de cette boîte avec une bande parallèle à (AC). On a, en centimètres, AI $= 1,5$ et IJ $= 1$. Calculer CK et KL. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Problème} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points \begin{center}A$\left(\dfrac52~;~\dfrac32\right)$\:;\qquad B$(2~;~-2)$ \:;\qquad C$(- 1~;~2)$.\end{center} \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ et montrer que ces vecteurs sont orthogonaux. \item Calculer les coordonnées du point D tel que $\vect{\text{AB}}= \vect{\text{CD}}$. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points A, B, C, D appartiennent à un même cercle. \item Où se trouve le centre K de ce cercle ? Justifier. \item Calculer les coordonnées de K. \item Calculer le rayon de ce cercle. \end{enumerate} \item Construire ce cercle. Il coupe l'axe des abscisses en deux points E et F. Calculer leurs coordonnées. \end{enumerate} \end{document}