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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Burkina Faso}
\lfoot{\small septembre 1988}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Burkina Faso
 septembre 1988}~\decofourright}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\emph{Les quatre questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le quotient $A$ suivant sous forme de fraction irréductible:

\[A = \dfrac{1 + \dfrac12 - \dfrac13}{1 - \dfrac12 + \dfrac13}.\]
		\item $A$ représente-t-il un nombre décimal ? (Expliquer brièvement pourquoi.)
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte de $\left(3 \sqrt 2\right)^2$ et $\left(3 \sqrt 2\right)^3$.
		\item Les réels 1 et $3 \sqrt 2$ sont-ils solutions de l'équation, d'inconnue $x$,
\[x^3 + x^2- 18x - 18 = 0 ?\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $x$ désignant un nombre réel quelconque, développer $(x + 5)^2$.
		\item Expliquer pourquoi $(x + 5)^2$ est toujours strictement supérieur à $10x$.
	\end{enumerate}
\item Les services des Postes n'acceptent d'expédier les colis ayant la forme de rouleaux cylindriques que si ces colis satisfont à certaines conditions de dimensions ; les informations données au public sont contenues dans un document dont voici un extrait:

\begin{center}\emph{Extrait du document}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{3}{|l|}{DIMENSIONS}\\ \hline
PRÉSENTATION&DIMENSIONS MINIMALES&DIMENSIONS MAXIMALES\\ \hline
Cartes postales et plis non urgents à découvert&14 cm $\times$ 9 cm&15 cm $\times$ 10,7 cm \\ \cline{1-1}\cline{3-3}
Envois sous enveloppe ou sous pochette& &$L+ \ell + h = 100$~cm \par $L$ maximale $= 60$~cm\\ \cline{1-2}
Envois sous forme de paquets&Une face au moins égale à 10 cm $\times  7$ cm& \\ \hline
Envois sous forme de rouleaux& $L + 2$ diamètres $= 17$~cm \quad $L$ minimale $= 10$~cm&$L + 2$ diamètres $= 104$~cm\par $L$ maximale $= 90$~cm\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Écrire les conditions de dimensions sous forme d'un encadrement des quantités (exprimées en cm) $L$ et $L + 2d$. ($L$ et $d$ désignent respectivement la longueur et le diamètre des rouleaux.)

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.6,2.8)
\psline(3,0.9)(9,0.9) \psline(3,2.5)(9,2.5) 
\psellipse[fillstyle=hlines](3,1.7)(0.4,0.8)
\psellipticarc(9,1.7)(0.4,0.8){-90}{90}
\psellipticarc[linestyle=dashed](9,1.7)(0.4,0.8){90}{-90}
\psline[linewidth=0.4pt](9,2.5)(9,0.2)\psline[linewidth=0.4pt](3,0.2)(3,2.5)
\psline[linewidth=0.4pt](0,0.9)(3,0.9)\psline[linewidth=0.4pt](0,2.5)(3,2.5)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2.1,0.9)(2.1,2.5)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3,0.5)(9,0.5)
\uput[d](6,0.5){Longueur du rouleau : $L$}
\rput(0.9,2){Diamètre du}\rput(0.9,1.4){rouleau : $d$}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item Voici les dimensions (exprimées en cm) de trois rouleaux
R$_1$, R$_2$, R$_3$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{X|}{~}	&R$_1$	& R$_2$	& R$_3$\\ \hline
$L$						&9		& 68	& 50\\ \hline
$d$						& 8		& 6		& 36\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Ces rouleaux seront-ils acceptés par les services des Postes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne la figure ci-dessous:

\begin{center}OA $= 3$~cm ;\quad  CD $= 3$~cm ;\quad  $\widehat{\text{AOC}} = 30\degres ; \quad 
\widehat{\text{CAO}} = 60\degres \:; \quad \widehat{\text{CDB}} = 90\degres$.\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.8)(9,3.4)
\pspolygon(0,0)(6.5,0)(4.9,2.82)
\psline(3;0)(2.598;30)
\rput{-150}(4.9,2.82){\psframe(0.25,0.25)}
\psarc(0,0){0.5}{0}{30}\psarc(3,0){0.5}{120}{180}\psarc(3,0){0.6}{120}{180}
\rput(0.8,0.25){$30\degres$}\rput(2.3,0.5){$60\degres$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,-0.7)(3,-0.7)\uput[u](1.5,-0.7){3~cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.2,1.4)(4.8,2.9)\rput{30}(3.4,2.35){3~cm}%
\uput[l](0,0){O} \uput[d](3,0){A} \uput[d](6.5,0){B} \rput[ul](1.9,1.55){C} \uput[ul](4.9,2.82){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de OC $\left(\text{on donne }\: \cos 30\degres = \dfrac{\sqrt 3}{2}\right)$.
		\item Calculer la valeur exacte de AB.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le quadrillage ci-dessous, tracer :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt]
\psdots(4,4)(6,2)(6,3)
\psline[linewidth=1.3pt]{->}(1,3)(2,4)
\psline[linewidth=1.3pt]{->}(3,1)(1,2)
\uput[dl](6,2){A}\uput[dl](6,3){B}\uput[dl](4,4){C}
\uput[ul](1.5,3.5){$\vect{u}$}\uput[ur](2,1.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item la droite D$_1$ passant par A et de vecteur-directeur $\vect{u}$ ;
\item la droite D$_2$ passant par B et de vecteur directeur $\dfrac13\vect{v}$ ;
\item la droite D$_3$ passant par C et de vecteur directeur $- 2\vect{u}$ ; 
\item la droite D$_4$ passant par A et de vecteur directeur $- \vect{\text{BA}}$.
\end{itemize}

(On ne demande pas les equations des droites.)
		\item Certaines des droites tracées sont parallèles. Lesquelles et pourquoi?
	\end{enumerate}
\item La pyramide ABCDS ci-dessous représentée en perspective est telle que
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] ABCD est un rectangle ;
\item[$\bullet~~$] SAB, SAD et SAC sont trois triangles rectangles en A ;
\item[$\bullet~~$] SA = AB $= 3$ cm ;
\item[$\bullet~~$] BC $= 2$ cm.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de SB.
		
Calculer la valeur exacte de AC.

Calculer la valeur exacte de SC.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4.5)
\pspolygon(1,1)(4,1)(1,4)%ABS
\psline(4,1)(4.6,1.8)(1,4)%BCS
\pspolygon[linestyle=dashed](1,1)(4.6,1.8)(1.6,1.8)%ACD
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.8)(1,4)%DS
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,0.7)(4,0.7)\uput[d](2.5,0.7){3 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.7,1)(0.7,4)\uput[l](0.7,2.5){3 cm}
\uput[dl](1,1){A}\uput[dr](4,1){B}\uput[r](4.6,1.8){C}\uput[ur](1.6,1.8){D}\uput[u](1,4){S}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Démontrer que le triangle SBC est rectangle en B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Vous venez tout juste d'organiser un rallye à bicyclette.

Vous avez demandé aux concurrents de grimper jusqu'au col de l'Envalira par le versant Est, puis de descendre vers l'Andorre.

Le départ était donné d'Ax-les-Thermes; on gagnait l'Hospitalet, puis le col de l'Envalira.

L'arrivée du rallye était située à Soldeu, 7 km après le sommet du col, sur le versant Ouest.

Quelques jours après le rallye, vous recevez la lettre suivante :

\hfill \emph{le 21 juin 1988}

\emph{Cher ami,}

\emph{mes muscles étant bien douloureux des efforts que tu m'as imposés, j'ai décidé, moi aussi, de te faire souffrir un peu.}

\emph{Tu accepteras donc bien volontiers de répondre aux questions que je te pose . elles ne sont pas bien difficiles, et je te donne tous les éléments (et même plus) pour pouvoir y répondre rapidement.}

\emph{Le soir du rallye, en rentrant chez moi, j'avais rapidement noté ceci :}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&\small Ax-les-Thermes &L'Hospitalet	&Col d'Envalira	&Soldeu\\ \hline
Kilomètres parcourus 	&0 km			&18 km			&35 km			&42 km\\ \hline
Heure de passage 		&9 h			&non notée		&11 h 30 min	&11 h 45 min\\ \hline
Altitude				&720 m			&1420 m			&2420 m			&1820 m\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Je te rappelle que la dénivellation entre deux lieux est la différence de leurs altitudes (la plus élevée moins la plus basse).}

\emph{J'en viens aux questions.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Examine le dessin ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.35cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(36,26)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(36,26)
\uput[d](35,0){$x$}\uput[l](0,25){$y$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(16.8,7)(30.4,17)(35,11)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](16.8,7){B} \uput[u](30.4,17){C} \uput[d](35,11.3){D} 
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.,0.4)(16.97,7.5)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(16.97,7.5)(30.2,17.3)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(31,17.5)(35.5,11.5)
\rput{24}(8.25,4.7){$18$ km}\rput{40}(23.5,13.5){$17$ km}\rput{-52}(33.5,15.5){$7$ km}
\uput[l](0,0){\small 720 m}\uput[l](0,7){\small \np{1420}~m}\uput[l](0,11){\small \np{1820}~m}\uput[l](0,17){\small \np{2420}~m}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item  \og Pour déterminer la pente moyenne d'une route, on divise la dénivellation par la distance parcourue. (On prend soin d'exprimer les grandeurs dans les \emph{mêmes unités}.\fg

Calcule la dénivellation puis la pente moyenne entre l'Hospitalet et le col d'Envalira (tu donneras la réponse à $\dfrac{1}{100}$ près par défaut).
\item  Le plan du dessin est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$, d'axes [A$x$) et [A$y$), d'unité 1 cm, dans lequel les points C et D ont pour coordonnées C(15,17~;~8,5) et D(16,97~;~5,5).
	
Détermine une équation de la droite (CD).

Que représentent les quatre points A, B, C, D ?

\item  Sur le dessin, on a AB $= 9$ cm ; en ordonnée $1$~cm représente $200$~mètres; B$'$ désigne la projection orthogonale de B sur [A$x$).
	
Quelle est, en cm, la longueur BB$'$ ?

Calcule, à $1\degres$ près par défaut, la mesure de $\widehat{\text{BAB}'}$.
\item  \og J'ai parcouru les trois derniers kilomètres de la montée à $12$ km à l'heure et les $3$~premiers kilomètres de la descente à $36$~km à l'heure.\fg

Calcule ma vitesse moyenne pendant ces six kilomètres (rappel : distance = vitesse $\times$ temps).

\emph{Bon courage et bonne chance}.
\end{enumerate}
\end{document}