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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1982}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\[\begin{array}{l l c l}
f :& x& \longmapsto& f(x) = (2x - 3)^2 - (x + 1)^2\\
g :& x& \longmapsto& g(x) = (3x - 2)(2x + 5) + 6x - 4.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer les expressions $f(x)$ et $g(x)$, les réduire et les ordonner suivant les puissance décroissantes de $x$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs.
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &= &0,\\
g(x) &=& 0,\\
f(x) &=& g(x).
\end{array}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit un triangle (A, B, C) rectangle et isocèle en A tel que $d$(A, B) $= 6$ 

(l'unité est le centimètre).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(B, C).
\item Soit D le point du segment [A, B] tel que $d$(A, D) $= \dfrac52$.

On mène par le point D la parallèle à la droite (BC) qui coupe la droite (AC) en E. Calculer $d$(A. E).
\item On mène par D la parallèle à (AC).

On mène par E la parallèle à (AB).

Ces deux droites se coupent en H.

Montrer que (A, E, H, D) est un carré.
\item Montrer que la droite (AH) est perpendiculaire à (BC) ; en déduire que (AH) est médiatrice du segment [B, C].
\end{enumerate}
\end{document}