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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small février 1960}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de deux facteurs du premier degré le polynôme $x^2 - 4$.
\item Décomposer en un produit de trois facteurs le polynôme $x^4 - 16$.
\item Dans un même système d'axes rectangulaires de coordonnées, O$x$, O$y$, tracer la droite $D$ d'équation $y = x + 2$ et la droite $D'$ d'équation $y = x - 2$.

(Prendre Je centimètre comme unité sur chacun des deux axes.)

Quelle remarque géométrique pouvez-vous faire sur $D$ et $D'$?
\item Dans le même système d'axes, tracer la droite $\Delta$ d'équation $x = 2$ et la droite $\Delta'$ d'équation $x = - 2$.

Quelle est la nature du quadrilatère convexe formé par les quatre droites $D,\: D',\: \Delta, \:\Delta'$ ?
\item Une des diagonales de ce quadrilatère est l'axe $x'\text{O}x$ ; déterminer l'équation de l'autre diagonale.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un triangle ABC la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ est le double  de celle de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'angle $\widehat{\text{B}}$ ne peut être aigu que si l'angle $\widehat{\text{C}}$ ne dépasse pas une valeur, que vous déterminerez.
\end{enumerate}

\textbf{On suppose dans toute la suite du problème cette condition réalisée}

\begin{enumerate}[resume]
\item On trace la bissectrice de l'angle intérieur $\widehat{\text{ABC}}$ qui coupe (AC) en D.

Montrer que les deux triangles ABD et ABC sont semblables.
\item Établir la relation $\overline{\text{AB}}^2  =$ AD $\cdot$ AC.
\item Quelle valeur faut-il donner à l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ pour que le triangle BAC soit rectangle en A (toujours avec la condition 
$\widehat{\text{ABC}} = 2 \widehat{\text{ACB}}$)?

Quand cette condition est réalisée, I désignant le
milieu de [BC], montrer que le quadrilatère IBAD est inscriptible et établir la relation

\begin{center}CD $\cdot$ CA $= \dfrac{\overline{\text{CB}}^2}{2}$\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}