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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On donne un rectangle ABCD dont les dimensions sont


\begin{center}AB $= 8$~m,\qquad  BC $= 6$~m\end{center}

On prolonge [AB] d'une longueur BE $= x$.

La perpendiculaire en E à (BE) coupe le côté [CD] en F et la diagonale [AC] en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $y$ le périmètre du quadrilatère AEFD.

Calculer $y$ en fonction de $x$.

Étudier cette fonction et la représenter graphiquement.
\item On désigne par $y'$ le périmètre du quadrilatère BEBC.

Calculer $y'$ en fonction de $x$.

Étudier cette fonction et la représenter graphiquement, sur le graphique précédent.

\item Déterminer $x$ pour que $y = y'$, par le calcul et graphiquement.

Calculer $y$.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle isocèle ABC (AB $=$ AC).

Par A, on mène une droite quelconque qui coupe la droite (BC) en D et le cercle circonscrit au triangle ABC en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ACD et AEC sont semblables.

En déduire la relation 
\begin{center} $\overline{\text{AB}}^2 =$ AD $\cdot$ AE.\end{center}

\item On mène par C la perpendiculaire à (AD), qui coupe la droite (AD) en F et la droite (BE) en G.

Démontrer que
\begin{center}CF = FG.\end{center}
\item Quels sont les lieux des points F et G lorsque le point E décrit le cercle circonscrit au triangle ABC ?
\end{enumerate}
\end{document}