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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{juin 1955}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen juin 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Une somme de 5 francs doit être partagée entre trois personnes proportionnellement aux nombres  $8 - x$ pour la première, $8$ pour la seconde, $8 + x$ pour la troisième, $x$ étant un nombre positif inférieur à 8.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dire quelle est la part qui revient à chacune d'elles ?
\item Construire sur un même graphique les droites représentatives des parts de chaque personne lorsque $x$ varie (on prendra $S = \np{240000}$~F) et vérifier sur ce graphique que, pour une même valeur de $x$, la part de la seconde est la demi-somme des parts des deux autres.
\item On change d'idée et la somme $S$ est partagée proportionnellement aux nombres 8 pour la première, $8 + x$ pour la seconde, $8 + 2x$ pour la troisième.

Calculer la nouvelle part de chacune des trois personnes.

Quelle valeur faudrait-il donner à $x$ pour que la part de la première obtenue dans le premier partage soit les $\dfrac34$ de celle qu'elle obtiendrait dans le second.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère deux cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ de centres O et O$'$, de 
rayons respectifs $R$ et $\dfrac R2$ tangents extérieurement en un point A.

Soient [BC] un diamètre quelconque 

cercle (0) et [B$'$C$'$] le diamètre du cercle $\mathcal{C}'$ parallèle à [BC] et de même sens.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points B, A, C' sont alignés.

\item (BB$'$) coupe la droite (OO$'$) en S.

Quelle est la position du point S sur [OO$'$] ?

En déduire les valeurs des longueurs SO, SO$'$' et SA en fonction de $R$.
\item La droite (SB$'$) coupe le cercle $\mathcal{C}'$ en B$'$, puis en un autre point, D ; elle coupe le cercle $\mathcal{C}$ en B, puis en un autre point, E.

Les droites (OB) et )O$'$D) se coupent en I.

Montrer que le triangle IBO est isocèle et qu'il existe un cercle tangent en B et D aux deux cercles donnés.

Existe-t-il un résultat analogue pour les points B$'$ et E ?
\item On suppose maintenant que le rayon [OB] est perpendiculaire à [OO$'$].

Calculer le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle $\widehat{\text{BSO}}$.
\end{enumerate}
\end{document}