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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen juin 1960}}

ENSEIGNEMENT LONG

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un système de deux axes de coordonnées rectangulaires, de même origine, $x'\text{O}x, y'\text{O}y$, et l'on place les deux points A, d'abscisse  6 sur l'axe $x'\text{O}x$, et B, d'ordonnée 4 sur l'axe $y'\text{O}y$ (unité graphique : 1~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'équation de la droite (AB) ?
\item On trace le cercle circonscrit au triangle AOB.

Calculer les coordonnées de son centre C, et la mesure de son rayon.
\item On considère le cercle passant par A et B et dont le centre C$'$ est sur l'axe $y'\text{O}y$.

Calculer les coordonnées de C$'$ et la mesure du rayon de ce cercle.
\item Ce cercle recoupe l'axe $x'\text{O}x$ en A$'$, l'axe $y'\text{O}y$ en B$'$. 

Calculer l'abscisse de A$'$, l'ordonnée de B$'$ et la distance CC$'$ des centres des deux cercles.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne un segment de mesure $a$.

Expliquer et justifier la construction d'un segment de longueur $a \sqrt 3$.
\item Construire un triangle isocèle ABC, sachant que
\begin{center}AB $=$ AC $= a$,\qquad BC $= a\sqrt 3$.\end{center}

Quelles sont les mesures des angles du triangle ?
\item La perpendiculaire en B à (AB) et la parallèle à A menée par C se coupent en D.

Montrer que (CB) est  bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$, puis calculer les longueurs BD,  CD et AD.
\item Soit O le milieu de [BC]. La droite (DO) coupe le segment [AC] en E et la droite (AB) en F{}.

Établir la relation
\begin{center}FA $\cdot$ PB = FD $\cdot$ FE.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}