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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}


\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne l'expression 
\[E(x) = \dfrac{(10 - 5x)\left(1 - x^2\right)}{
(2 - x)\left(x^2 + 2x + 1\right)}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier cette expression et préciser si l'on peut faire la simplification quelle que soit la valeur de $x$.
\item Soit $E'(x)$ l'expression simplifiée.
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$ obtient-on $E'(x) = 1$ ?
		\item Si $x = \sqrt 5$, calculer $E'(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soient deux axes de coordonnées rectangulaires
$x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ (l'unité est le centimètre sur chaque axe).

Construire la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 5 - 5x$.

Quelle est l'équation de la droite qui passe par les points A$(-3~;~- 2)$ et B(5~;~6) ?

Calculer les coordonnées du point d'intersection, M,
de $\left(D_1\right)$ et de (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soient un cercle de centre O, de diamètre [AB] et un point P de la droite (AB) tel que BP $= R$.

Soit [CD] le diamètre perpendiculaire à [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la tangente au cercle passant par P, située dans le même demi-plan que D.

Cette tangente touche le cercle en M et coupe (CD) en E.

Calculer, en fonction de $R$, les longueurs PM, OE, EM.

Quelle est la valeur du rapport $\dfrac{\text{PM}}{\text{PE}}$ ?


\item Soit I le point de [OA] tel que OI $= \dfrac{2R}{3}$.

Tracer [EI] et démontrer que (EI) est parallèle à OM.
\item (EI) coupe en F la tangente au cercle passant par A.

Démontrer que le quadrilatère AEPF est inscriptible dans un cercle.

Préciser la position du centre de ce cercle et calculer, en fonction de $R$, la mesure de son rayon, $R'$.
\end{enumerate}
\end{document}