\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Caen juin 1966},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{juin 1966}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

$A(x)$ et $B(x)$ sont deux polynômes définis comme suit : 
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& x^2 + x - 6,\\
B(x)&=& x^2 - 3x + 2.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer leur somme, leur différence, leur produit.
\item On pose $A(x) = C(x) + (x - 2)$ et $B(x)= D(x) + (x - 2)$.

Trouver $C(x)$ et $D(x)$.

Profiter de cette décomposition de $A(x)$ et $B(x)$ pour trouver une des racines de chacune des équations suivantes : 
\[A(x) = 0,\quad B(x) = 0,\quad A(x) + B(x) = 0.\]

Résoudre le système suivant: 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
A(x)&= &0,\\
B(x)& = &0.
\end{array}\right.\]
\item Soit $G(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Mettre $G(x)$ sous la forme d'une fraction plus simple, de la forme
$G'(x) = \dfrac{A'(x)}{B'(x)}$.

Existe-t-il une valeur $a$ de $x$ telle que $G'(x)$ soit définie et que $G(x)$ ne le soit pas ?

Dans le cas où $x$ est différent de $a$, calculer le rapport $\dfrac{G(x)}{G'(x)}$.

\emph{Cas particulier} : $x = a$.
\item On pose
\begin{center}$y_1 = x + 3$,\qquad  $y_2 = 1 - x$.\end{center}

Représenter graphiquement les variations de $y_1$ et $y_2$ en fonction de $x$ (repère orthonormé).

Les images graphiques sont deux droites se coupant en M.

Quelles sont les coordonnées du point M ?

Montrer que l'abscisse de M est une racine de l'équation $G(x) = - 1$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Sur un axe orienté, placer l'origine, O, et cinq points déterminés par leurs abscisses : A(+ 5), B(+ 7,5), C(+13), D(+ 17), E(19,5).

Tracer les cercles (O$_1$) et (O$_2$) de centre O et passant respectivement par B et C.

Une droite à laquelle appartient le point O coupe les cercles (O$_1$) et (O$_2$) en
F et G.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles OFE et OAG, ainsi que OAF et OGE, sont semblables.

En déduire la valeur du rapport $\dfrac{\text{AG}}{\text{FE}}$ et la ligne à laquelle appartiennent
les points A, F, G et E.
\item \emph{Étude d'un cas particulier} : G$'$ est un point d'intersection de (O$_2$) avec le cercle de centre A et de rayon AD.

(OG$'$) coupe (O$_1$) en F$'$.

Quelles sont les mesures des côtés du triangle OAG$'$ ?

Quelle est la nature de ce triangle ?

Quelle est la longueur du segment [F$'$E] ?

Par quels points le cercle de diamètre [EG$'$] passe-t-il ?
\end{enumerate}
\end{document}