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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit $T$ l'ensemble des triangles isocèles dont la base mesure $8$ cm, $x$ désigne la
mesure, en centimètres, de chacun des côtés isométriques, $p(x)$ désigne la mesure, en centimètres, du périmètre du triangle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter Je tableau suivant sachant que $t_1,\:t_2,\:t_3$  et $t_4$ sont des éléments de $T$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&$x$&$ p(x)$\\ \hline
triangle $t_1$&5&\\ \hline
triangle $t_2$&$4\sqrt 2$&\\ \hline
triangle $t_3$&&24\\ \hline 
triangle $t_4$&&$10 + 4\sqrt 3$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Montrer que le triangle $t_2$ est rectangle et que le triangle $t_3$ est équilatéral.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $p(x)$ en fonction de $x$.
		\item On considère l'application

\[\begin{array}{l l c l}
p :&]4~;~+\infty[&\to &\R\\
&x& \longmapsto&p(x).
\end{array}\]

Justifier le choix de l'intervalle $]4~;~+ \infty[$ et donner
une représentation graphique de l'application $p$ dans un repère orthonormé \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan euclidien, muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B et C définis par

\[\vect{\text{OA}} = \vect{\imath} + 2\vect{\jmath}\:;\qquad  \vect{\text{OB}} = 2\vect{\imath} - \vect{\jmath} ; \qquad \vect{\text{OC}} = 3\vect{\imath} + \vect{\jmath} :\]

on complétera la figure tout au long de l'exercice.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les composantes du vecteur $\vect{\text{AC}}$, les distances OA et OB et montrer que les vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OB}}$ sont orthogonaux.
		\item En déduire la nature du quadrilatère (O, A, C, B).

	\end{enumerate}
\item À tout réel $a$, on fait correspondre le point M$_a$ tel que

\[\vect{\text{OM}_a} = 3a\vect{\imath} +(a - 5)\vect{\jmath}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les coordonnées des points M$_0$ et M$_1$ sont

\begin{center}M$_0(0~;~ -5)$\qquad  et M$_1(3~;~- 4)$\end{center}

		\item Vérifier que $\vect{\text{M}_0\text{M}_1} = \vect{\text{OC}}$.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, quel que soit le réel $a \:(a \ne 0$)
		
\[\vect{\text{M}_0\text{M}_1} =a \cdot \vect{\text{OC}}.\]

Que peut-on en déduire ?
		\item Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par M$_0$ et M$_1$.
	\end{enumerate}	
\item Soit D, le symétrique du point M$_0$ par rapport à O.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points O et M, appartiennent à la droite (AB).
		\item Montrer, sans calcul, que les droites $(\Delta)$ et (AB) sont perpendiculaires.
		\item En déduire Je centre du cercle circonscrit au triangle $\left(\text{D}, \text{M}_0, \text{M}_1\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}