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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1985}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip


On considère les expressions :

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&= & (7x - 3)(x + 2)+ \left(14x^2 - 6x\right) ;\\
g(x)& =&49x^2 - 42x + 9.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Calculer $g\left(- \dfrac12\right)$,\: $g\left(\sqrt 3\right)$ et $g\left(1 - \sqrt 2\right)$.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations :
	\begin{enumerate}
		\item $g(x) = 0$ ;
		\item $g(x) = 9$ ;
		\item $(7x - 3)(3x + 2) - g(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij.

 On considère les points

\begin{center}A$(-3~;~-2)$, \qquad B(1~;~6),\qquad  C(5~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AB, AC et BC.

Que peut-on en conclure pour le triangle (A, B, C) ?
\item Trouver une équation de la médiatrice (D) de [BC].
\item Calculer les coordonnées du milieu E de [AB] et du milieu F de [AC].

Montrer que les vecteurs $\vect{\text{EF}}$ et $\vect{\text{BC}}$ sont colinéaires.
\item Soit H l'image de A dans la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.

Calculer les coordonnées du point H.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCH ; en déduire les coordonnées du point d'intersection des droites (AC) et (BH).
\item On donne $\vect{\text{OG}} =-7\vect{\imath} + y\vect{\jmath}$.

Déterminer le réel $y$ pour que les vecteurs $\vect{\text{AG}}$ et $\vect{\text{AC}}$ soient orthogonaux.
\item Démontrer que les points B, C et G appartiennent à un même cercle de centre A.
\end{enumerate}
\end{document}