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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer $A = \dfrac{3 + \dfrac54}{5 - \dfrac27}$ sous forme d'une fraction irréductible.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire $B = \dfrac{2 + \sqrt 5}{\sqrt ,5 - 2}$ sous la forme $a + b \sqrt n$ ou $a$, $b$ et $n$ sont des entiers positifs.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Donner une valeur approchée à 0,01 près par défaut de $C = 5\sqrt 3 - 2$ (sur une calculatrice pour $\sqrt 3$ on lit \np{1,7320508}).

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Écrire sous la forme $a\sqrt b$ avec $a$ et $b$ entiers positifs. 

\[D = 5\sqrt 2 - 4\sqrt 8 + 17\sqrt{32}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Factoriser $\left(4x^2 - 1\right) + 8x2 + 8x + 2.$



\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre O et de diamètre [AB] et M un point de ce cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle AMB ? 

Justifier la réponse. 
\item Soit $\mathcal{T}$ la translation de vecteur $\vect{\text{OM}}$.

Construire les points A$'$, B$'$, M$'$ tels que

\begin{center} A$'= \mathcal{T}$(A),\qquad  B$'= \mathcal{T}$(B),\qquad M$'= \mathcal{T}$(M).\end{center}

Quelle est l'image par $\mathcal{T}$ du point O ?
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABB$'$A$'$ ? 

Justifier la réponse.

\item Démontrer que A$'$M$'$B$'$ est un triangle rectangle.
\item On donne OB $= 5$ cm, MB $= 2$ cm.

Calculer la longueur du segment [AM).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Un club de judo propose deux formules de prix à se adhérents:

\begin{description}
\item[ ] la formule A : la séance coûte $60$~F,
\item[ ] la formule B : une carte d'abonnement coûtant $350$~F pour l'année et qui réduit le coût de la séance à $35$~F.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de séances		&5 	&10 &20 &30\\ \hline
Coût avec la formule A	&	&	&	&\\ \hline
 Coût avec la formule B	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Exprimer les coûts annuels $A(x)$ et $B(x)$ de $x$ séances pour chacune des formules A et~B.
\item Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les applications $A$ et $B$ respectivement définies par 

\[A(x) = 60x \qquad \text{et}\qquad B(x) = 350 + 35x,\]

où $x$ est un nombre réel positif. 

(On prendra 1 cm pour 1 séance en abscisse, 1 cm pour $100$~F{}, en ordonnée.)
\item Calculer le nombre de séances pour lequel les coûts annuels dans les deux formules seront les mêmes. Quel sera alors le prix à payer ?
\item Expliquer comment l'on peut retrouver graphiquement le résultat précédent.
\item Calculer le nombre de séances pour lequel la somme à payer avec la formule B est inférieur de $900 $~F, à la somme à payer avec la formule A.
\end{enumerate}
\end{document}