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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Mettre sous la forme d'une fraction irréductible :

\[\dfrac{20}{28} + \dfrac{3}{14} \times \dfrac49.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Mettre sous la forme $a \sqrt b$ (où $a$ et $b$ sont des entiers positifs) :

\[8\sqrt{48} - 7\sqrt{27}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre les équations (dans $\R$) :

\[7(x - 8) + 3(2x + 1) =\dfrac52 x + 3,\]

\[(2x - 1)(x + 7)= 0.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit $A = (3x -7)^2 - 2(3x - 7x)(x + 2)$.

Factoriser et développer $A$.

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un triangle ABC tel que BA = BC.

On désigne par E le milieu du segment AB ;

\phantom{On désigne par }F le milieu du segment BC ;

\phantom{On désigne par }I le milieu du segment AC. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que IE = IF.
\item Construire le point G symétrique de E par rapport à I, et le point H symétrique de F par rapport à I.

Démontrer que le quadrilatère EFGH est un rectangle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un triangle ABC rectangle en A et tel que :

\[\text{BC} = 10\quad \text{et}\quad \text{AC} = 5 (\text{en cm}).\]

Calculer AB.

Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ ?

\bigskip

\textbf{Troisième partie : problème}

\medskip

On considère un rectangle ABCD tel que :

\[\text{AB} = 8 \quad \text{et}\quad \text{AD} = 6 \: \:(\text{en cm}).\]

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.2,3.8)
\psframe(0.2,0.2)(5,3.6)%DCBA
\psline(0.2,3.6)(5,0.2)(5,3.6)(0.2,0.2)%ACBD
\psline[linewidth=1.3pt](0.2,2.3)(2,3.6)(5,1.3)%PMN
\uput[ul](0.2,3.6){A} \uput[ur](5,3.6){B} \uput[dr](5,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[u](2,3.6){M} \uput[r](5,1.3){N} \uput[l](0.2,2.3){P}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer AC.
\item Soit M un point du segment [AB]. On pose AM $= x$.

La droite passant par M et parallèle à la droite (AC) coupe
le côté BC en N.

Calculer MB, BN et MN en fonction de $x$.
\item Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) =  10 - \dfrac54 x.\]

Faire la représentation graphique de $f$ pour $x$ compris entre 0 et 8.

(On utilisera un repère orthonormé, l'unité étant le centimètre;)
\item La droite passant par M et parallèle à la droite (BD) coupe le côté AD en P{}.

Calculer AP et MP en fonction de $x$.
\item Calculer le périmètre du polygone MNCDP.

Ce périmètre dépend-il de la position du point M sur le côté AB ?
\end{enumerate}
\end{document}