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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{septembre 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Soit un carré ABCO, de côté $3$~cm. On joint le point A à un point M variable du côté [BC], situé entre B et C et l'on pose BM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$, l'aire $y$ du triangle
ABM et l'aire $y'$ du trapèze AMCD.

Représenter, sur un même graphique, les variations des fonctions $y$ et $y'$ de $x$.
\item Déterminer, par le calcul, la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du trapèze est le double de l'aire du triangle.

Vérifier graphiquement.
\item Calculer, en fonction de $x$ , la tangente de l'angle $\widehat{\text{BAM}}$ et la tangente de l'angle $\widehat{\text{CDM}}$.

Montrer que la somme de ces tangentes est constante.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Sur une droite $xx'$, on donne les points \emph{fixes} A, B, O dans cet ordre.

Par O, on mène la droite $yy'$ perpendiculaire à $xx'$ et l'on prend, sur $yy'$, un point variable M.

On trace la droite (MB) puis l'on mène par A, la perpendiculaire à (MB) qui coupe $yy'$ en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AM) et (PB) sont perpendiculaires et que les triangles OMB et OAP sont semblables.

En déduire que le produit OP $\times$ OM est constant.
\item Montrer que les cercles-de diamètre [MP] passent par deux points fixes situés sur la droite $xx'$.
\item Le cercle circonscrit au triangle AMP recoupe $xx'$ au point B$'$.

Démontrer que B$'$ est fixe.

Quel est le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle AMP ?
\end{enumerate}
\end{document}