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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen septembre 1976~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les applications polynômes $f$ et $g$ définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (2x + 3)^2 - (2x + 3)(x + 7), \: \text{et}\\
g(x) &=& \left(2x^2 - 2\right) - 2x - 2 - x(x + 1).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de polynômes du premier degré.
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$ selon
les puissances décroissantes de $x$.
\item Calculer $g\left(\dfrac13\right), \: g(- 1),\: f(0)$ et $f\left(\sqrt 3\right)$.

Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$ encadrer $f\left(\sqrt 3\right)$ par
un intervalle de largeur $10^{-2}$.
\item On considère la fonction rationnelle $q$ ainsi définie

\[q\:\left\{\begin{array}{l c l}
\mathcal{D}_q&\to \R,\\
x&\longmapsto&\dfrac{f(x)}{g(x)}
\end{array}\right.\]

où $\mathcal{D}_q$ désigne l'ensemble de définition de $q$.

Déterminer $\mathcal{D}_q$.

Simplifier dans $\mathcal{D}_q$, l'écriture de $q(x)$.

On appellera $q'(x)$ cette écriture simplifiée.
\item Résoudre dans $\mathcal{D}_q, \: q'(x) = 0,\quad q'(x) = 1$ \:et\: $q'(x) = \dfrac{11}{5}$.
\item Dans un plan $(P)$ muni d'un repère orthonormé
\Oij{} construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ qui représentent les fonctions affines définies par
\begin{center}$h(x) = 2x + 3$\quad  et \quad $p(x) = \dfrac{11}{5}$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point d'intersection A, des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan $(P)$ muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B et C définis par 

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} +2\vect{\imath},\quad \vect{\text{OB}} = 8\vect{\imath} + 5\vect{\imath}$,\quad et \quad $\vect{\text{OC}} = \dfrac52\vect{\imath} + 4\vect{\imath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, B), $d$(B, C) et $d$(C, A).

Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Soit le point D défini par $\vect{\text{DC}} = \vect{\text{AB}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de D.
		\item Montrer que (A. B. C. D) est un parallélogramme. 
	\end{enumerate}
\item Soit E le symétrique de B par rapport à A, F le symétrique de A par rapport à C.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points E et F.
		\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{FB}}, \:\vect{\text{FE}}$
et $\vect{\text{EH}}$.
		\item Montrer que le triangle (E, F, B) est rectangle et isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}