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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Caen }
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen  juin 1995~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sachant que $a = \dfrac23; \quad b=- \dfrac14 ; \quad c = \dfrac25 ;  \quad d = - \dfrac12$, 
calculer 

\[A = ab + cd\qquad  \text{et} \qquad  B = \dfrac{a + d}{b + c}\]

Donner les résultats sous la forme de fractions aussi simples que possible.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $E = x^2 - 4 - (x + 2)(3x - 5).$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $E$.
\item Calculer $E$ lorsque $x = \dfrac12$ .
\item Factoriser $x^2 - 4$.

En déduire une factorisation de $E$.
\item Résoudre l'équation $( x + 2)(3 - 2 x ) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

En Suisse, il y a quatre groupes d’habitants qui parlent chacun une langue différente :
\begin{itemize}
\item \np{4150000} parlent allemand ;
\item  \np{1200 000} parlent français ;
\item  \np{600000} parlent italien ;
\item  \np{50000} parlent romanche.
\end{itemize}

On veut représenter cette situation par un diagramme circulaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Suisses parlant& allemand		& français&italien	&romanche &Total\\ \hline. 
Effectifs 			&\np{4150000}&				&				&					&\\ \hline
Pourcentage		&						&				&				&					& 100\\ \hline
Angle				&						&				&				&					&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Construire un diagramme circulaire (prendre un cercle de rayon 5 cm). 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Des spectateurs assistent à un motocross. 

Ils ont garé leur véhicule, auto ou moto, sur un parking.

Il y a en tout 65 véhicules et on dénombre 180 roues.

Quel est le nombre de motos ?

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

(Utiliser une feuille de papier quadrillé.)

Construire un triangle EFG, rectangle en F tel que EF = FG $= 4$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point K image de E par la symétrie de centre F.
\item Placer le point L image de F par la symétrie orthogonale d'axe (EG).
\item Placer le point J image de G par la translation de vecteur $\vect{\text{EF}}$.
\item Placer le point H tel que $\vect{\text{HE}} = \vect{\text{FG}}$.
\item Quelle est l'image de H par la rotation de centre F qui transforme E en G ? Justifier ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

D'un bloc de pierre ayant la forme d'un pavé droit ADEFIJKL, un sculpteur veut extraire le prisme droit ABCDFGHE ayant pour base le trapèze isocèle ABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,5.2)
%\psgrid
\psframe(0.4,0.4)(7,2.8)%IJDA
\psline(7,0.4)(8.6,2.3)(8.6,4.7)(7,2.8)%JKED
\psline(8.6,4.7)(2,4.7)(0.4,2.8)%EFA
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2,2.3)(8.6,2.3)%ILK
\psline[linestyle=dashed](2,2.3)(2,4.7)%LF
\psline[linestyle=dashed](0.4,2.8)(1.2,0.4)(2.8,2.3)(2,4.7)%ABGF
\psline[linestyle=dashed](7,2.8)(6.2,0.4)(7.8,2.3)(8.6,4.7)%DCHE
\uput[l](0.4,2.8){A} \uput[d](1.2,0.4){B} \uput[d](6.2,0.4){C} \uput[ul](7,2.8){D}
\uput[ur](8.6,4.7){E} \uput[ul](2,4.7){F} \uput[ur](2.8,2.3){G} \uput[ul](7.8,2.3){H}
\uput[dl](0.4,0.4){I} \uput[dr](7,0.4){J} \uput[r](8.6,2.3){K} \uput[l](2,2.3){L}
%\uput[](){} \uput[](){} \uput[](){} \uput[](){}
\end{pspicture}
\end{center}

On donne:AD = 40 cm ; AI = 15 cm ; AF = 20 cm ; IB = 5 cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du trapèze ABCD.
		\item Calculer le volume du prisme ABCDFGHE.
	\end{enumerate}	
\item Calculer AB (donner la valeur exacte).
\item Calculer $\tan \widehat{\text{BAI}}$.

En déduire la valeur arrondie de $\widehat{\text{BAI}}$ à un degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC ayant pour dimensions : 

\begin{center}
AB $= 7$ cm ;\qquad  AC $= 4$ cm ;\qquad  BC~$=~5$~cm.
\end{center}

\item Soit M le point situé sur le segment [AB] et tel que AM $= 1$ cm.
La parallèle à la droite (AC) passant par M coupe la droite (BC) en N. 

Calculer BN et MN.

(Donner les résultats d'abord sous forme fractionnaire, et ensuite sous forme décimale arrondie à $\dfrac{1}{10}$ près.)
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip
 Le plan est muni d'un repère orthogonal.
 
(Utiliser une feuille de papier millimétré.)

Prendre sur l'axe des abscisses 2 cm pour une unité.

Prendre sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 20 unités.

Graduer l'axe des abscisses de 0 à 5.

Graduer l'axe des ordonnées de 0 à 270.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer dans ce repère les droites $D_1$, $D_2$ et $D_3$ d'équations : 

\begin{tabular}{l l l}
$D_1$ :& $y = - 90 x + 270$& (en bleu)\\
$D_2$ :& $y = - 40 x + 150$& (en rouge)\\
$D_3$ :& $y = - 10 x + 50$& (en noir)
\end{tabular}

(Donner les coordonnées de 2 points pour chaque droite.)
\item Calculer les coordonnées de M, point d'intersection de $D_1$ et de $D_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip 

Le samedi 18 juin 1995, à $16$~h, a été donné le départ de la course automobile des 24 heures du Mans.

Les 3 personnes suivantes s'y sont rendues :

\begin{itemize}
\item Hélène est partie de Cherbourg avec sa voiture et a roulé à la vitesse moyenne de $90$~km/h.
\item Clément est parti de Caen avec son scooter et a roulé à la vitesse moyenne de $40$~km/h.
\item Adrien est parti d'Alençon à vélo et a roulé à la vitesse moyenne de $10$~km/h.
\end{itemize}

La distance de Cherbourg à Caen est de 120 km. Celle de Caen à Alençon est de 100 km. Celle d'Alençon au Mans est de 50 km.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7)
%\psgrid
\psframe(8,7)
\pscurve(0.4,3.3)(0.9,5)(0.5,6)(0.4,6.5)(0.8,6.25)(1.5,6.1)(2,6.025)(2.45,6,05)(2.55,5.75)(2.2,5)(2.1,4.4)(3,4.3)(4,4.1)(4.5,4)(5.5,4.15)(5,4.25)(4.2,4.3)(5.6,5)(6.5,5.4)(7,5.55)(7.6,6)
\psarc(3.9,6.05){2.5}{180}{270}
\pscurve(3.85,3.58)(3.8,3)(4,2.7)(4.3,2.2)(4.15,1.95)
\pscurve(4.15,1.95)(4.3,1)(4.5,0.45)
\psdots(1.4,6.05)(3.85,3.58)(4.15,1.95)(4.5,0.45)
\rput(2.4,6.3){Cherbourg}\rput{-45}(1.8,4){120 km}
\uput[r](3.8,3.6){Caen}\rput{-60}(4.3,2.8){100 km}
\uput[r](4.2,1.95){Alençon}\rput{-75}(4.6,1.15){50 km}
\uput[r](4.5,0.45){Le Mans}
\end{pspicture}
\end{center}

Les trois personnes ont quitté leur domicile à 8 heures.

On désignera par $x$ le temps, en heures, écoulé après 8 heures et par $y$
la distance, en km, restant à parcourir pour arriver au Mans.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle distance Hélène parcourt-elle en $x$ heures ?
		\item En déduire que, après $x$ heures de trajet, la distance qu'il lui reste à parcourir pour arriver au Mans est égale à $270 - 90 x$.
		
On notera $H(x) = 270 - 90 x$.
	\end{enumerate}
\item Après $x$ heures de trajet, quelle distance doit encore parcourir Clément pour arriver au Mans ? 

On notera cette distance $C(x)$.

De même, après $x$ heures de trajet, quelle distance doit encore parcourir Adrien pour arriver au Mans ? On notera cette distance $A(x)$.
\item Quelle interprétation peut-on donner des coordonnées du point M considéré dans la partie I--2. ?
\item Par une lecture du graphique, estimer à quelle distance du Mans, Hélène doublera Adrien. 

Estimer l'heure de ce dépassement.
\item Par un calcul, déterminer à quelle heure et à quelle distance du Mans Clément doublera Adrien.
\end{enumerate}
\end{document}