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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1997}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1997}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne l'expression suivante :

\[A = (3x+ 1)(5x- 4) - (5x- 4)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation $(5 - 2x)(5x- 4) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer et mettre sous forme de fraction aussi simple que possible : 

\[B = 6 - 2 \times \dfrac54 ;\qquad  C = \dfrac{15}{8}  + \dfrac92.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Ecrire sous la forme $a\sqrt b$ ($a$ et $b$ désignant des entiers) : 

\[D = -4\sqrt{18}+ \sqrt{128} - 3\sqrt{32}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Développer $E = \left(\sqrt 3 - 5\right)^2$.


\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Déterminer deux nombres sachant que leur somme est $286$ et que si l'on divise le plus grand par le plus petit, le quotient est $4$ et le reste est $21$.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%fig

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).

Les coordonnées des points A et B sont des nombres entiers.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm, arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture*}(-7,-2.5)(7,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\psaxes[Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-7,-2.5)(7,7)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{5 2 x mul sub}
\psdots(0,5)(3,-1)
\uput[l](0,5){A}\uput[dl](3,-1){B}\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver une équation de la droite (AB). Justifier la réponse.
\item Tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $y = \dfrac12 x + 1$.
\item Montrer que C$(-4~;~-1)$ est sur la droite $(\Delta)$.
\item On appelle D le point d'intersection des droites $(\Delta)$ et (AB).

Montrer que le triangle BCD est rectangle en D.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm, arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture*}(-17,-9)(17,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
\pspolygon[linewidth=1.25pt](5,0)(3,2)(3,1)(-1,1)(-1,-1)(3,-1)(3,-2)%ABCDEFG
\uput[r](5,0){\small A} \uput[ur](3,2){\footnotesize B} 
\uput[ul](3,1){\small C}
\uput[ul](-1,1){\small D} \uput[dl](-1,-1){\small E}
\uput[dl](3,-1){\small F}\uput[dr](3,-2){\small G}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

On appelle $\mathcal{F}$ la figure représentée par le polygone ABCDEFG.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur le quadrillage :
	\begin{enumerate}
		\item l'image $\mathcal{F}_1$ de T par la symétrie centrale de centre B ;
		\item l'image $\mathcal{F}_2$ de T par la rotation de centre E, d'angle $90\degres$, dans le sens des aiguilles d'une montre;
		\item l'image $\mathcal{F}_3$ de T par la translation de vecteur AE .
	\end{enumerate}
\item Placer le point O tel que $\vect{\text{AO}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AG}}$.

(On écrira les lettres $\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2 ,\mathcal{F}_3$ et O sur le dessin.) 

Figure à compléter et à rendre avec la copie.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Là figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire.

Le point R appartient au segment [FG] et le point P appartient au segment [FH].

Les droites (RP) et (GH) sont parallèles et l'on a, en cm : 

FR $= 4,2$ ; RP $= 3,6$ ; HG $= 18$ ; FH $= 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer FG.
\item Calculer, en cm, le périmètre du triangle FHG.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm, arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(10.7,3.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.8)(10.3,0.2)(3.3,3.2)%FGH
\psline(0.7,1.22)(2,0.7)%PR
\uput[l](0.2,0.8){F} \uput[r](10.3,0.2){G} \uput[u](3.3,3.2){H} \uput[ul](0.7,1.22){P} \uput[d](2,0.7){R}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

Préparation d'un voyage de fin d'année d'une classe à la Cité des Sciences et de l'Industrie à Paris.

\bigskip

\textbf{Partie A : La géode}

\medskip

Dans le parc de la Cité des Sciences se trouve la géode, salle de cinéma qui a, extérieurement, la forme d'une calotte sphérique posée sur le sol, de rayon $18$~m.

\begin{center}
\psset{unit=1cm, arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.7)(5,3.8)
\psline(-4.5,-2.3)(5,-2.3)%HM Sol
\psline(0,-2.3)(0,0)(2.8,-2.3)%HOM
\psarc(0,0){3.6}{-40}{220}
\psarc(0,0){0.6}{270}{320}
\psframe(0,-2.3)(0.25,-2.05)
\uput[ul](0,0){O} \uput[d](0,-2.3){H} \uput[d](2.8,-2.3){M}
\uput[u](4.7,-2.3){Sol} \rput(0.35,-0.9){$52\degres$} 
\rput{-40}(1.8,-1){18 m}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OH (on trouvera 11 mètres à un mètre près).
\item Calculer HM (donner le résultat arrondi à 1 m près).
\item Calculer la hauteur totale de la géode.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la forme de la surface au sol occupée par la géode ?
		\item Calculer l'aire de cette surface (valeur approchée par défaut à 1 m$^3$ près).
	\end{enumerate}
\item On veut représenter le triangle OMH à l'échelle $\dfrac{1}{300}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la longueur DM sur cette représentation ?
		\item Construire le triangle OMH à l'échelle $\dfrac{1}{300}$.
	\end{enumerate}
%fig.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Deux compagnies de transport proposent aux établissements scolaires un tarif pour le transport de $20$ élèves.

La compagnie C$_1$ : $800$ F à la réservation plus $4$ F par kilomètre parcouru.

La compagnie C$_2$ : $500$ F à la réservation plus $6$ F par kilomètre parcouru.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $x$ le nombre de kilomètres séparant un établissement scolaire et la Cité des Sciences. On note :

$y_1$ le coût du transport des élèves de cet établissement par la compagnie C$_1$ ;

$y_2$ le coût du transport des élèves de cet établissement par la compagnie C$_2$.

Exprimer $y_1$ et $y_2$ en fonction de $x$.
\item Dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, I, J), tracer les droites d'équation :

\[y = 4x + 800 \quad  \text{et}\quad  y = 6x + 500.\]

On prendra, sur l'axe des abscisses, 4 cm pour représenter 100, sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour représenter 100.
\item En utilisant le graphique, peut-on savoir à quelle distance de Paris sont situés les établissements qui ont intérêt à utiliser la compagnie C$_1$ ? Expliquer.
\item Trouver, par le calcul, à quelle distance de Paris sont situés les établissements qui ont intérêt à utiliser la compagnie C$_1$.
\end{enumerate}
\end{document}