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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Caen}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire le plus simplement possible les réels suivants :

\medskip

\begin{enumerate}
\item sous forme de fraction irréductible :

\[A = \dfrac{\dfrac12 + \dfrac13}{\dfrac14 - \dfrac15}\]

\item sous la forme $n\sqrt p$ où $p$ est un entier positif:

\[B = 3\sqrt{20} - \sqrt 5 + \sqrt{45}, \qquad 
C = 2 \left(\dfrac{1}{\sqrt 5 - 2}\right)^2 - 9\left(\dfrac{1}{\sqrt 5 - 2}\right).\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression $g(x)$ définie par 

\[g(x)= (x -1)(x + 5)+ x^2 - 25.\]

\item Résoudre dans $\R$ l'équation $(x + 5)(2x - 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

on considère le

Dans un plan rapporté à un repère \Oij{} on considère les points :
\begin{center}A(2~;~5), \qquad B$(-1~;~4)$, \qquad C$(2~;~-5)$  \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
\item Écrire une équation de la droite (AB).
\item Construire la droite $(D)$ dont une équation est :
\[3x + y - 11 = 0.\]

\item Démontrer que les droites (BC) et $(D)$ sont parallèles.
\item Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [AC].
\item Calculer les coordonnées du point E symétrique du point
B par rapport au point I.
\item Démontrer que E est un point de $(D)$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCE ? Justifier votre
réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le tableau ci-après représente les horaires de passage de
deux trains A et B allant de Caen vers Paris.

La distance (en kilomètres) à partir de Caen est désignée
par $d$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|m{1.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Ville où le train passe			&\multicolumn{1}{c|}{~}	&Caen		&Lisieux&Paris\\ \hline
Distance à partir de Caen : $d$	&\multicolumn{1}{c|}{~}	&0 km			&75 km	&250 km\\ \hline
\multirow{2}{5cm}{Heure à laquelle le
 train passe dans la ville}		&Train A				&2 h		&		&4~h 30~min\\ \cline{2-5}
								&Train B				&2~h 15~min&		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en kilomètres par heure la vitesse moyenne du train A entre Caen et Paris.
\item La vitesse moyenne du train B entre Caen et Paris étant de 125 km/h, reproduire et compléter le tableau ci-dessus (expliquer les calculs effectués).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies respectivement dans $\R$ par :

\[f(d)= \dfrac{d}{100} + 2\qquad  \text{et}\qquad g(d) = \dfrac{d}{125} + 2,25.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(75);\: f(150);\: g(75) ;\: g(150)$.
\item Construire les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans un plan rapporté à un repère orthogonal (on prendra 1~cm pour 25~unités en abscisse, $4$~cm pour une unité en ordonnée).
\item Pour quelle valeur de $d$ a-t-on $f(d) = g(d)$ ?
\item Montrer que les fonctions $f$ et $g$ permettent de
représenter la marche des trains A et B entre Caen et Paris.
\item En déduire graphiquement à quelle distance de Caen et à quelle heure le train B rattrape le train A ?
\end{enumerate}
\end{document}