\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{ifthen} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{graphicx} \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} %Merci à : Cédric Thaumiot et Sébastien Dibos \usepackage{lscape} \usepackage{pst-fun} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-node,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage{scratch} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %Merci à Cédric Thaumiot %Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet des collèges}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 7 décembre 2023}, allbordercolors = white,pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet des collèges} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{7 décembre 2023}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\[7pt] {\Large \textbf{7 décembre 2023}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 : Q. C. M.\hfill 15 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. \textbf{Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.} Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7.7cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{Questions}&\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\ \hline 1 &D'après des chercheurs, la probabilité qu'une personne subisse une attaque mortelle par un requin au cours de sa vie, est de ...&$2,7 \times 10^{-7}$&$2,7\times 10^0$&$2,7 \times 10^7$\\ \hline 2&$\dfrac35 - \dfrac25 \times \dfrac74$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}&$- \dfrac{1}{10}$&$\dfrac{2}{10}$&$\dfrac{7}{20}$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline 3&Sur un site, un pantalon est vendu 60~\euro{} au lieu de 80~\euro. Le pourcentage de réduction est ...&20\,\%&25\,\%&75\,\%\\ \hline 4&ABCD est un parallélogramme de centre E. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.4,2.3) \pspolygon(0.4,0.3)(5.5,0.3)(7.1,2.1)(2,2.1)%ADCB \psline(0.4,0.3)(7.1,2.1)\psline(5.5,0.3)(2,2.1) \psdots(1.2,1.2)(2.95,0.3) \uput[dl](0.4,0.3){A} \uput[ul](2,2.1){B} \uput[ur](7.1,2.1){C} \uput[dr](5.5,0.3){D} \uput[u](3.75,1.2){E} \uput[d](1.2,1.2){F}\uput[d](2.95,0.3){G} \psline(1.65,0.2)(1.65,0.4)\psline(1.7,0.2)(1.7,0.4)\psline(1.75,0.2)(1.75,0.4) \psline(4.2,0.2)(4.2,0.4)\psline(4.25,0.2)(4.25,0.4)\psline(4.3,0.2)(4.3,0.4) \rput(0.8,0.75){$\backslash$}\rput(1.7,1.73){$\backslash$} \end{pspicture} \end{center} L'homothétie de centre A qui transforme B en F ...&a pour rapport 2.&trans\-forme G en D.&trans\-forme C en E.\\ \hline 5&La médiane de la série ci-dessous est ... \[11-17-8-14-3-20-5-10-12\]&3&5&11\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2 : Paniers de légumes\hfill 18 points} \medskip José, un agriculteur vivant dans la commune du Mont-Dore, veut préparer des paniers de légumes bio pour ses clients. Il a déjà récolté 39 salades, 78 carottes et 51 aubergines. Il veut que tous les paniers aient la même composition et utiliser tous les légumes. La décomposition de 39 en produit de facteurs premiers est : $3 \times 13$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Décomposer en facteurs premiers les nombres 78 et 51. \item En déduire le nombre de paniers maximum que José peut préparer. \item Combien de salades, de carottes et d'aubergines y aurait-il dans chaque panier? \end{enumerate} \end{enumerate} Finalement, José décide de préparer 13 paniers. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Combien d'aubergines ne seront pas utilisées? Justifier votre réponse. \item Combien doit-il cueillir au minimum d'aubergines supplémentaires pour pouvoir toutes les utiliser ? \end{enumerate} \end{enumerate} José souhaite que ses 13 paniers contiennent également des tomates. Il estime qu'il en a entre $110$ et $125$~prêtes à être récoltées. \begin{enumerate}[resume] \item Combien doit-il en cueillir au maximum pour éviter les pertes et pour que chaque panier ait toujours la même composition ? \textbf{Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 : Isolation \hfill 18 points} \medskip Matthieu souhaite isoler la toiture de sa maison. Il compte utiliser de la laine de roche pour le toit de sa terrasse et de la ouate de cellulose pour le toit de la partie habitable. Pour savoir quelles quantités de matériaux acheter, il doit effectuer des calculs. Il a noté sur un plan de sa maison ci-dessous (vue de profil), toutes les mesures qu'il connait : \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.2,-0.3)(13,6) %\psgrid \pspolygon(0,0)(12.2,0)(12.2,2.8)(8.8,4.8)(0,2.7)%AGFDC \psline(8.8,4.8)(8.8,0)%DB \psline[linestyle=dashed](8.8,2.8)(12.2,2.8)%EF \psframe(8.8,2.8)(9,3) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(8.6,0)(8.6,4.8) \uput[l](8.6,2.4){4,3 m} \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,-0.2)(8.8,-0.2) \uput[d](4.4,-0.2){8 m} \uput[r](0,1.35){2,5~m} \psarc(12.2,2.8){0.6}{150}{180}\rput(11.3,3){$30\degres$} \rput(4,5){Toit de la partie habitable}\psline{->}(4,4.8)(4.5,3.8) \rput(11,5){Toit de la terrasse}\psline{->}(11,4.8)(10.18,4) \rput(6.6,5.8){\textbf{Le plan n'est pas à l'échelle}} \psline(-0.1,1.325)(0.1,1.325)\psline(-0.1,1.375)(0.1,1.375) \psline(8.7,1.325)(8.9,1.325)\psline(8.7,1.375)(8.9,1.375) \psline(12.1,1.325)(12.3,1.325)\psline(12.1,1.375)(12.3,1.375) \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](8.8,0){B} \uput[ul](0,2.7){C} \uput[u](8.8,4.8){D} \uput[dr](8.8,2.8){E}\uput[ur](12.2,2.8){F} \uput[dr](12.2,0){G} \end{pspicture} \end{center} \textbf{On donne :} AC = 2,5 m\quad AB = 8 m \quad BD = 4,3 m \quad $\widehat{\text{EFD}} = 30\degres$ Les points D, E, B ainsi que les points A, B, G sont alignés. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que DE $= 1,8$~m. \item Montrer que la longueur DF du toit de la terrasse est égale à 3,6~m. \textbf{Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.} \end{enumerate} On considère que : \begin{itemize} \item le toit de la terrasse est un rectangle de longueur $12$~m et de largeur $3,6$~m ; \item un rouleau de laine de roche couvre 6 m$^2$. \end{itemize} \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer le nombre de rouleaux de laine de roche qu'il doit acheter pour le toit de sa terrasse. \item Montrer que la longueur CD du toit de la partie habitable est égale à $8,2$~m. \textbf{Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.} \end{enumerate} On considère que : \begin{itemize} \item le toit de la partie habitable est un rectangle de longueur $12$~m et de largeur $8,2$~m ; \item Matthieu souhaite installer de la ouate de cellulose sur une épaisseur de $10$~cm ; \item la densité de la ouate de cellulose est de $40$ kg/m$^3$. \end{itemize} \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer la masse, en kg, de ouate de cellulose qu'il doit acheter pour le toit de la partie habitable. \textbf{Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 : Les roches de la Ouaïème \hfill 13 points} \medskip À quelques kilomètres au nord du village de Hienghène, se trouve une des plus belles randonnées de Nouvelle-Calédonie appelée \og les roches de la Ouaïème \fg. Le départ se situe au niveau de la mer près d'une plage de sable blanc. Le sentier grimpe le long d'un versant de montagne et atteint un point de vue imprenable sur le Mont Panié et le lagon. Voici quelques informations pratiques sur cette randonnée: \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{5cm}|X|}\hline Durée estimée (Aller simple)&2 h 30 min\\ Distance (Aller simple)&3,8 km\\ \hline Altitude&minimale : 0 m / maximale : 741 m\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On considère que la pente de la montagne est rectiligne. On a schématisé le parcours [DV] de la randonnée par la figure ci-dessous: \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-0.4)(15,6.) %\psgrid \rput(7.5,6){Les points D, N et M sont alignés} \psline(0,0)(12,4.2) \psline[linestyle=dashed](0,0)(12,0)(12,4.2)%DMV \psline[linestyle=dashed](8,0)(8,2.8)%NP \psframe(8,0)(7.75,0.25)\psframe(12,0)(11.75,0.25) \uput[d](0,0){D} \uput[d](8,0){N} \uput[dr](12,0){M} \uput[ur](12,4.2){V} \uput[ul](8,2.8){P} \uput[r](12,2.1){0,741 km}\rput{20}(4,1.65){3 km}\rput{20}(5.7,3.2){3,8 km} \psdots(0,0)(12,0)(12,4.2)(8,0)(8,2.8) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-0.3,0.8)(11.7,5) \rput(0.1,0.4){Le départ}\rput(12.4,4.8){L'arrivée}\rput(8.8,2.6){Panneau} \end{pspicture} \end{center} Fabienne s'est engagée sur ce parcours en partant du point D. Au bout de 2 heures, elle arrive au panneau P indiquant qu'elle a déjà parcouru $3$~km. \begin{enumerate} \item Justifier que les droites (PN) et (VM) sont parallèles. \item Déterminer à quelle altitude PN se trouve Fabienne lorsqu'elle se situe au panneau P. \textbf{Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.} \item À quelle vitesse moyenne, en km/h, a-t-elle parcouru le trajet [DP] ? Sur la fin du parcours [PV], Fabienne marche à une vitesse moyenne de 1,2 km/h. On rappelle que la durée de l'aller simple est estimée à 2~h 30~min. \item A-t-elle dépassé cette durée ? \textbf{Justifier en faisant apparaître les différentes étapes.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 5 : Fonctions \hfill 20 points} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La fonction $f$, dont la représentation graphique est en annexe est-elle une fonction affine ? Justifier votre réponse. \item À l'aide de ce graphique, compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ sur l'annexe. \end{enumerate} Parmi les trois formules suivantes, l'une correspond à l'expression de la fonction $f$. Elle a été saisie dans la cellule B2 puis étendue dans la cellule C2 du tableau de l'annexe. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline =B1 + 3 &=(B1 + 3)$*$(B1 $-$ 1)& =SOMME(B1 : G1) \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate}[resume] \item Noter la bonne formule sur votre copie. \end{enumerate} \item On considère la fonction affine $g$ définie par $g(x) = 2x + 1$. \begin{enumerate} \item Calculer l'image de $-2$ par la fonction $g$. \item Calculer $g(3)$. \item Déterminer l'antécédent de $2$ par la fonction $g$. \item Tracer, sur le graphique de l'annexe, la représentation graphique de la fonction~$g$. \end{enumerate} \item L'expression de la fonction $f$ ci-dessus est $f(x) = (x + 3)(x - 1)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression $(x + 3)(x - 1)$. \item Pour quelle(s) valeur(s) de $x$, a-t-on $f(x) = g(x)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 6 : Hexagone régulier \hfill 16 points} \medskip \begin{minipage}{0.6\linewidth} Un hexagone régulier est un polygone à 6 côtés de même longueur et dont tous les angles mesurent $120\degres$. Les hexagones réguliers se retrouvent fréquemment dans la nature, notamment dans les ruches d'abeilles. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.38\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.3,-2.3)(2.3,2.3) \pspolygon(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;240)(2;300)%CDEFAB \uput[r](2;0){C} \uput[ur](2;60){D} \uput[ul](2;120){E} \uput[l](2;180){F} \uput[dl](2;240){A} \uput[dr](2;300){B} \psarc(2;0){0.35}{120}{240}\psarc(2;60){0.35}{180}{300}\psarc(2;120){0.35}{240}{0} \psarc(2;180){0.35}{-60}{60}\psarc(2;240){0.35}{0}{120}\psarc(2;300){0.35}{60}{180} \uput[ul](1.75;300){\small $120\degres$} \multido{\n=30+60}{6}{\rput(1.73;\n){$\bullet$}} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{XBC}}$ dans la figure ci-dessous. : \begin{minipage}{0.43\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.38,-2.3)(3,1.3) %\psgrid \psline(1.732;210)(2;240)(2;300)(2;0)(1.732;30)%?ABC? \uput[dl](2;240){A}\uput[d](2;300){B}\uput[r](2;0){C}\uput[d](3.464;-30){X} \psarc(2;240){0.35}{0}{120}\psarc(2;300){0.35}{60}{180}\psarc(2;0){0.35}{120}{240} \rput(1.35;300){$120\degres$} \psline[linestyle=dashed](2;300)(3.464;-30) \psarc[linecolor=red](2;300){0.45}{0}{60}\rput(1.6,-1.4){\red ?} \end{pspicture} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.55\linewidth} Les points A, B et X sont alignés. \end{minipage} \item Sur l'annexe, compléter les deux informations manquantes du bloc Hexagone pour qu'il trace un hexagone régulier. \end{enumerate} Rappel : \emph{s'orienter à $90\degres$ permet au lutin de se déplacer vers la droite.} \begin{minipage}{0.47\linewidth} \item On considère le script ci-contre qui utilise le bloc Hexagone de l'annexe : \begin{enumerate} \item Combien d'hexagones réguliers ce script trace-t-il ? \item Quelle est la longueur des côtés du 1\up{er} hexagone régulier tracé? \item Quelle est la longueur des côtés du 2\up{e} hexagone régulier tracé? \item Parmi les dessins ci-dessous, lequel correspond à ce script ? \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.52\linewidth} %\setscratch{scale=.75} \begin{scratch} \blockinit{Quand \greenflag est cliqué} \blockmove{s’orienter à \ovaloperator{ \ovalnum{90}}} \blockvariable{mettre \ovalvariable{longueur} à \ovalnum{32}} \blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois} {\blocklook{Hexagone} \blockvariable{mettre \ovalvariable{longueur} à \ovaloperator{\ovalvariable{longueur} * 1.5 }} } \end{scratch} \end{minipage} \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Dessin 1}&\textbf{Dessin 2}&\textbf{Dessin 3}\\ \hline \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(2.,1.8) %\psgrid \def\hexa{\pspolygon(0.4;0)(0.4;60)(0.4;120)(0.4;180)(0.4;240)(0.4;300)} \multido{\n=-2+0.8}{5}{\rput(\n,0){\hexa}} \end{pspicture}& \psset{unit=0.85cm} \begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(2.8,2.8) %\psgrid \rput(-0.3,0.5){\pspolygon(0.45;0)(0.45;60)(0.45;120)(0.45;180)(0.45;240)(0.45;300)} \rput(-0.3,0.5){\pspolygon(0.6;0)(0.6;60)(0.6;120)(0.6;180)(0.6;240)(0.6;300)} \rput(-0.3,0.5){\pspolygon(0.9;0)(0.9;60)(0.9;120)(0.9;180)(0.9;240)(0.9;300)} \rput(-0.3,0.5){\pspolygon(1.6;0)(1.6;60)(1.6;120)(1.6;180)(1.6;240)(1.6;300)} \rput(-0.3,0.5){\pspolygon(2.4;0)(2.4;60)(2.4;120)(2.4;180)(2.4;240)(2.4;300)} \end{pspicture}& \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.,-1)(3.4,4) %\psgrid \rput(0.4;60){\pspolygon(0.4;0)(0.4;60)(0.4;120)(0.4;180)(0.4;240)(0.4;300)} \rput(0.6;60){\pspolygon(0.6;0)(0.6;60)(0.6;120)(0.6;180)(0.6;240)(0.6;300)} \rput(0.9;60){\pspolygon(0.9;0)(0.9;60)(0.9;120)(0.9;180)(0.9;240)(0.9;300)} \rput(1.35;60){\pspolygon(1.35;0)(1.35;60)(1.35;120)(1.35;180)(1.35;240)(1.35;300)} \rput(2.025;60){\pspolygon(2.025;0)(2.025;60)(2.025;120)(2.025;180)(2.025;240)(2.025;300)} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 5 : Questions 1. et 2. d.} \begin{center} \psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-5,-5.1)(6,13) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-5)(6,13) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{5}{x 1 sub x 3 add mul} \uput[d](5.75,0){$x$}\uput[l](0,12.75){$y$}\uput[r](2.95,11.15){\red $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Exercice 5 : Question 1. b.} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G\\ \hline 1 &$x$ &$-3$ &$-2$ &$-1$ &0 &1 &2\\ \hline 2 & $f(x)$& 0 & $-3$ &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \textbf{Exercice 6 : Question 1. b.} \medskip \begin{center} \textbf{Bloc Hexagone} \bigskip \begin{scratch} %\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{trace_carré \ovalmoreblocks{coté_carré}}} \initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Hexagone}} %\blocklook{définir{Hexagone}} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{....} fois} {\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur}} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{.....} degrés} } \blockpen{relever le stylo} \end{scratch} \end{center} \end{document}