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%Sujet aimablement fourni par Michel Oroffino
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{8 décembre 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\
{\Large \textbf{8 décembre 2015}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 : Questionnaire à choix multiples \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.

On ne demande pas de justifier. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multirow{2}{6cm}{Questions posées}&\multicolumn{3}{|c|}{Réponses proposées}\\ \cline{2-4}
&A& B& C\\ \hline
\textbf{1.} Marc a 10 ans et il pèse 30 kg. Quel sera son poids à 20 ans?&60 kg &40 kg& On ne peut  pas savoir\\ \hline
\textbf{2.} Quelle est la largeur d'un rectangle de longueur 8 cm et de périmètre 24 cm ?& 3 cm &4 cm &16 cm\\ \hline
\textbf{3.} Si je réponds à cette question au hasard, quelle est la probabilité que ma réponse soit juste ?&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{1}{2}$&\vspace*{-0.5cm}On ne peut pas savoir\\ \hline
\textbf{4.} Quel est le volume, arrondi à l'unité, d'une boule de rayon 3 cm ?&113 cm$^3$& 19 m$^3$& 28 cm$^2$\\ \hline 
\textbf{5.} Quelles sont les solutions de l'équation
$(x + 1)(5x-10) = 0$ ?&$- 1$ et $- 2$ &1 et 2 &$- 1$ et $2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : Rampe d'accès \hfill 2,5 points}

\medskip

Un vendeur souhaite rendre son magasin plus accessible aux personnes en fauteuil roulant. Pour cela il s'est renseigné sur les normes et a décidé d'installer une rampe avec une pente de 3 degrés comme indiqué sur le schéma suivant.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
%\psgrid
%\psframe(0,0)(3,4.5)
\psline(0,1)(3,1)(9.5,0)(0,0)(0,4.5)(3,4.5)(3,0)
\uput[ur](9.5,0){A}\uput[ur](3,1){C} \uput[d](3,0){B}
\rput(1.5,3.5){Entrée}
\uput[r](5,4){ABC est un triangle rectangle en B.}
\uput[r](5,3.5){$\widehat{\text{CAB}}$ mesure 3\degres}
\uput[r](5,3){BC = 30 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

Calculer la longueur AB, arrondie au centimètre, pour savoir où la rampe doit commencer.

\newpage

\textbf{Exercice 3 : Langues en voie de disparition \hfill 3 points}

\medskip

En 2010, l'UNESCO\footnote{\emph{UNESCO.  United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization (en français : Organisation
des Nations Unies pour l'Education, la Science et la Culture)}} a dressé un inventaire des langues en danger dans le monde. Il vise à susciter une prise de conscience sur la nécessité de préserver une diversité linguistique mondiale. Voici un tableau récapitulatif du nombre de langues en voie de disparition ou déjà éteintes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Niveau de vitalité& En voie de disparition &Déjà éteintes& Total\\ \hline
Nombres de langues& ... &231 &\np{2580}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur \np{6000} langues répertoriées, 43\,\% sont soit en voie de disparition, soit déjà éteintes.

Montrer, par un calcul, que cela représente un total de \np{2580} langues.
\item En déduire le nombre de langues qui sont en voie de disparition.
\item Calculer le pourcentage de langues qui sont déjà éteintes sur les \np{6000} langues répertoriées dans le monde.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 : Problème de carrelage \hfill 3 points}

\medskip

Pour répondre à la demande d'un client, un décorateur a besoin de découper des triangles dans du carrelage. Les triangles doivent être rectangles et isocèles avec une hypoténuse de longueur 15~cm. Les carreaux qu'il doit utiliser sont des carrés de 12~cm de côté.

Ces carreaux sont-ils assez grands pour faire deux de ces triangles dans chacun d'eux ? 

Justifier.

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 : Boîte de chocolats \hfill 4 points}

\medskip

Une boîte \og Chocodor \fg{} contient exactement 10 chocolats au lait, 8 chocolats noirs et 6 chocolats blancs.

Tous les chocolats ont la même forme et sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si l'on prend un chocolat au hasard dans cette boîte, quelle est la probabilité que ce soit un chocolat au lait ?
\item Alexis a acheté une boîte \og Chocodor\fg{} et a déjà pris un chocolat de chaque sorte. Par gourmandise, il veut en prendre un quatrième sans regarder. Quelle est la probabilité que ce soit un chocolat noir ?
\item Thomas a aussi acheté une boîte identique. Il l'a ouverte et a pris deux chocolats au hasard.

Quelle est la probabilité qu'il prenne deux chocolats blancs ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 : Polygones réguliers \hfill 5,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les polygones réguliers suivants:
	\begin{enumerate}
		\item Le carré :
		
\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\pscircle(0,0){1.2}
\pspolygon(1.2;-45)(1.2;45)(1.2;135)(1.2;225)
\psline(1.2;-45)(1.2;135)
\psline(1.2;45)(1.2;225)
\uput[ur](1.2;45){\small B}\uput[ul](1.2;135){\small A}
\uput[dl](1.2;225){\small D}\uput[dr](1.2;-45){\small C}\uput[r](0,0){\small O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.85;0)(0.85;90)(0.85;180)(0.85;270)
\psarc(0,0){0.25cm}{45}{135}
\end{pspicture}} \hfill\parbox{0.65\linewidth}{Expliquer pourquoi l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ mesure 90\degres}.

		\item Le pentagone régulier:

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\pscircle(0,0){1.2}
\pspolygon(1.2;15)(1.2;87)(1.2;159)(1.2;231)(1.2;303)
\psline(1.2;15)(0;0)(1.2;87)
\psline(1.2;159)(0;0)(1.2;231)
\psline(1.2;231)(0;0)(1.2;303)
\uput[ur](1.2;15){\small B}\uput[ul](1.2;87){\small A}
\uput[ul](1.2;159){\small E}\uput[dl](1.2;231){\small D}\uput[dr](1.2;303){\small C} \uput[ur](0,0){\small O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.98;51)(0.98;123)(0.98;195)(0.98;267)(0.98;339)
\pscircle(0,0){0.25cm}
\multido{\n=51+72}{5}{\psline(0.22;\n)(0.28;\n)}
\end{pspicture}} 
\hfill\parbox{0.65\linewidth}{Expliquer pourquoi l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ mesure 72\degres.}

\medskip

		\item L'hexagone régulier :

\medskip
\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\pscircle(0,0){1.2}
\pspolygon(1.2;0)(1.2;60)(1.2;120)(1.2;180)(1.2;240)(1.2;300)
\multido{\n=0+60}{6}{\psline(0.;0)(1.2;\n)}
\uput[ur](1.2;0){\small C}\uput[ur](1.2;60){\small B}
\uput[ul](1.2;120){\small A}\uput[l](1.2;180){\small F}\uput[dl](1.2;240){\small E} \uput[dr](1.2;300){\small D}\uput[ur](0,0){\small O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.04;30)(1.04;90)(1.04;150)(1.04;210)(1.04;270)(1.04;330)
\psarc(0,0){0.25cm}{60}{120}
\end{pspicture}} 
\hfill\parbox{0.65\linewidth}{ Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.}

\medskip

	\end{enumerate}
\item Un polygone régulier a des côtés de longueur 5~cm. Les angles à chaque sommet mesurent 140\degres.
	
Calculer le périmètre de ce polygone.
	
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 : Commande de livres \hfill 3 points}

\medskip

Un collège a besoin de commander quelques livres de mathématiques et de français.
Chaque livre de mathématiques coûte \np{3000}~F et chaque livre de français \np{2000}~F.

Au total 30 livres ont été commandés pour un montant de \np{80000}~F.

Combien de livres de chaque sorte ont été commandés ?

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 8 : Clip musical \hfill 7 points}

\medskip

Un site internet propose de télécharger légalement des clips vidéos. Pour cela, sur la page d'accueil, trois choix s'offrent à nous:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Premier choix : téléchargement \textbf{direct sans inscription}. Avec ce mode, chaque clip peut être téléchargé pour 4~euros.
\item[$\bullet~~$] Deuxième choix: téléchargement \textbf{membre}. Ce mode nécessite une inscription à 10~euros.
valable un mois et permet d'acheter par la suite chaque clip pour 2 euros.
\item[$\bullet~~$] Troisième choix : téléchargement \textbf{premium}. Une inscription à 50~euros permettant de télécharger tous les clips gratuitement pendant un mois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Je viens pour la première fois sur ce site et je souhaite télécharger un seul clip.

Quel est le choix le moins cher ?
\item Pour cette question, utiliser l'annexe 1.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau.
		\item À partir de combien de clips devient-il intéressant de s'inscrire en tant que membre ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $x$ désigne le nombre de clips vidéos achetés.
	
$f,\: g$ et $h$ sont trois fonctions définies par :
	
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$f(x) = 50$
\item[$\bullet~~$]$g(x) = 4x$
\item[$\bullet~~$]$h(x) = 2x + 10$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Associer chacune de ces fonctions au choix qu'elle représente (direct, membre ou premium).
		\item Dans le repère de l'annexe 2, tracer les droites représentant les fonctions $f,\: g$ et $h$.
		\item À l'aide du graphique, déterminer le nombre de clips à partir duquel l'offre premium devient la moins chère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 9 : Marionnette \hfill 3 points}

\medskip

Un marionnettiste doit faire un spectacle sur le thème de l'ombre. Pour cela il a besoin que sa marionnette de 30~cm ait une ombre de 1,2~m.

La source de lumière C est située à 8 m de la toile (AB).

La marionnette est représentée par le segment [DE].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
\item Calculer EC pour savoir où il doit placer sa marionnette.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1.2)(9.5,1.2)(0.5,5)
\psline(7.5,1.2)(7.5,2.05)
\psframe(0.5,1.2)(0.8,1.5)\psframe(7.5,1.2)(7.8,1.5)
\psline{<->}(0.5,0.6)(9.5,0.6)
\uput[d](5,0.6){8 m}\uput[l](0.5,3.1){1,2 m}
\uput[l](7.5,1.65){30 cm}
\uput[ul](0.5,5){A} \uput[dl](0.5,1.2){B} \uput[d](9.5,1.2){C} \uput[u](7.5,2.05){D} \uput[d](7.5,1.2){E}
\psset{unit=0.6cm}
\rput{-20}(16,1.9){\pspolygon*(0,-0.3)(0,0.3)(0.8,0.2)(2,0.2)(2,-0.2)(0.8,-0.2)} 
\end{pspicture}

Cette figure n'est pas à l'échelle.
\end{center}
\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 1 - Exercice 8}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de clips &1 &2 &5 &10 &15\\ \hline
Prix en euros pour le téléchargement direct&4 &8&&&\\ \hline
Prix en euros pour le téléchargement membre&12 &14&&&\\ \hline
Prix en euros pour le téléchargement premium&50 &50&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{\large ANNEXE 2 - Exercice 8}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(24,65)
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(24,60)
\multido{\n=0+5}{13}{\uput[l](0,\n){\n}}
\uput[d](20.5,-4){Nombre de clips achetés}
\uput[r](0,62.5){Prix en euros}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}