\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Cambodge, Laos et Viet-Nam juin 1959},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Cambodge, Laos et Viet-Nam}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1959~\decofourright\\[7pt]
Cambodge, Laos et Viet-Nam }}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Sur un axe gradué $x'x$, d'origine O et orienté, les points A et B ont pour abscisses + 3 et~+~7.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la mesure algébrique du vecteur $\vect{\text{AB}}$
?

Quelle est l'abscisse du point P milieu de [AB] ?
\item Dans un cas général, les points A et B ont pour abscisses $a$ et $b$.

Quelle est l'abscisse d'un point M tel que
\[2\overline{\text{MA}} + 2\overline{\text{MB}} = 3\overline{\text{AB}}\:\: ?\]

Quelle est l'abscisse du point R milieu du vecteur $\vect{\text{MB}}$ ?
\item Calculer le rapport $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}$ et montrer que, quelles que soient les abscisses de A et de B ce rapport est constant.
\item Faire une vérification numérique des questions 2. et 3. pour $a = 3$ et $b = 7$.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en A ; les côtés de l'angle droit [AB] et [AC] mesurent respectivement $a$ et $a\sqrt 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC.
\item Exprimer en degrés la valeur de l'angle $\widehat{\text{B}}$.

Justifier votre réponse.
\item Placer sur [AC] entre A et C  un point D  tel que $\dfrac{\text{DA}}{\text{DC}} = \dfrac12$.

Indiquer une construction géométrique.
\item On joint B et D ; calculer la tangente trigonométrique de l'angle $\widehat{\text{ABD}}$.

En déduire la valeur de cet angle en degrés.

Que représente [BD) dans le triangle ABC ?
\item Comparer les deux triangles ABD et ABC ; en déduire la valeur de BD et montrer que le côté [AB] est tangent  au cercle circonscrit au triangle BCD.
\end{enumerate}
\end{document}