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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Cambodge juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'expression $4x^2 + 1$ en y introduisant un troisième terme de manière à obtenir le développement du carré d'un binôme du premier degré en $x$.

Montrer qu'on peut former les carrés de quatre binômes différents.
\item En adoptant l'échelle de $3$~cm par unité, aussi bien pour les ordonnées que pour les abscisses, représenter graphiquement la variation des quatre fonctions

\begin{center}$y_1 = 2x + 1,\quad y_2 = 2x - 1,\quad y_3 = - 2x + 1,\quad y_4 = - 2x - 1$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées des points d'intersection des droites qui se coupent ?

Quelle est la nature du quadrilatère formé par les quatre droites ?

L'échelle des ordonnées étant toujours $3$~cm par unité, comment aurait-il fallu choisir l'échelle des abscisses pour que ce quadrilatère fût un carré ?

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un losange ABCD tel que l'angle $\widehat{\text{B}}$ mesure $60\degres$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le côté du losange ayant pour mesure $a$, calculer les longueurs des diagonales.
\item Une droite ne traversant pas le losange passe par D et coupe (AB) en E et (BC) en F.

Montrer la similitude des triangles ADE et CFD.
\item En déduire que AC est moyenne proportionnelle entre AE et CF et que les triangles ACE et CFA sont semblables.
\item P étant le point commun à (CE) et (AF), démontrer que 
\begin{center}CA$^2 =$ CP $\times$ CE.\end{center}
\item (EF) varie autour de D ; trouver alors l'ensemble des positions prises par le centre du cercle circonscrit au triangle APE.
\end{enumerate}
\end{document}