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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Cameroun}
\lfoot{\small juin 1983}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Cameroun juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On définit, dans $\R^*$, la loi de composition interne suivante :

\[\forall(x~;~y) \in \R^{*2}, \quad x * y = \frac{x}{y^2}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Cette loi est-elle commutative? 
		\item Cette loi est-elle associative?
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ un réel donné. Calculer $x * 1$.

1 est-il élément neutre pour la loi * ?
\item Résoudre, dans $\R^*$, les équations suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item $x * 1 = 1$ ;
		\item $1 * x= 1$ ;
		\item $x * x = - x$.
	\end{enumerate}	
\item Calculer les réels suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $A = \left(1 + \sqrt 3\right)*\sqrt{2 - \sqrt 3}$,

$B = \left(1 - \sqrt 3\right)* \sqrt{2 + \sqrt 3}$,

$C= A - B$.

(On rendra dans chaque cas les dénominateurs rationnels.)
		\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, donner un
encadrement de $C$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par

\[f(x) = \dfrac1x - 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $E$ des réels pour lesquels $f(x)$ existe.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier selon les valeurs du réel $x$, le signe
 de l'expression $\dfrac{1-x}{x}$.
		\item En déduire les solutions dans $E$ de l'inéquation $f(x)\geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $\mathcal{P}$ un plan affine euclidien rapporté à
un repère orthonormé \Oij. Soit 

\begin{center}A$(1~;~-2)$,\quad  B(0~;~4), \quad C$(-3~;~-1)$\quad  et \quad D(1~;~8)\end{center}

des points du plan $\mathcal{P}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point E tel que le quadruplet (A, C, B, E) soit un parallélogramme.
\item Montrer que E appartient à la médiatrice de [AD].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ qui à tout point de coordonnées $(x~;~y)$ associe le point M$'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ telles que

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&- x + 2\\
y'&=&-y - 4.
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les images A$'$, B$'$, C$'$, D$'$ par $f$ des points A, B, C, D.
\item Déterminer l'ensemble J des points M tels que $f$(M) = M.
\item Montrer que, pour tout point M de $\mathcal{P}$, on a
$\vect{\text{AM}'} =- \vect{\text{AM}}$.

En déduire la nature de l'application.
\item Soit $\Delta$ la droite d'équation $x + 4y + 7 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que A appartient à $\Delta$.
		\item Déterminer le point d'intersection de la droite
$\Delta$ avec la droite d'équation 

$y + 1 = 0$.
		\item Déterminer l'image de la droite (AC) par $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point K de $\mathcal{P}$ tel que $\vect{\text{KA}} + \vect{\text{KB}} = \vect{\text{0}}$.
		\item Quelles sont les coordonnées de K$'$ image par $f$ de K ?
		\item Calculer $\vect{\text{K}'\text{A}} + \vect{\text{K}'\text{B}'}$.
		
Que représente K$'$ pour le bipoint (A, B$'$) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}