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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Cameroun juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit le polynôme

\[P(x) = 2x - 3x^2 - 2x^3 + 3.\]

%\medskip

\begin{enumerate}
\item En groupant convenablement les termes, décomposer $P(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.

Vérifier que, pour $x = \sqrt 2$, les deux expressions de $P(x)$ ont même valeur numérique.
\item On donne

\[y = \dfrac{P(x)}{3 - 3x^2}.\]

Simplifier cette fraction et tracer la courbe représentative (graphe) de la fonction simplifiée, $y_1$ ainsi obtenue.
\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle $y = 5$.

Vérifier par le calcul le résultat obtenu.

On désignera par A le point dont on vient de déterminer les coordonnées.
\item Par le point A on fait passer deux droites :
\begin{itemize}
\item l'une, $y_2$, perpendiculaire à $y_1$ ;
\item l'autre, $y_3$ symétrique de $y_1$ par rapport à la
droite d'équation $y = 5$.
\end{itemize}

Quels sont les équations de ces deux droites ?
\item Résoudre les inéquations
\begin{center}$\dfrac23x + 1 > 0$\qquad et\qquad $- \dfrac23x + 9 < 0$.\end{center}

Vérification graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit le triangle ABC, rectangle en A, tel que
BC $= 7,5$~cm et AB $= 6~$cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le construire, en justifiant la méthode employée. 
\item Calculer la longueur du côté [AC].
\item On prend sur [AB] le point E, sur [AC] le point D et
sur le prolongement de [CA] le point F, tels que 
\begin{center}AE $= 1,8$~cm, \qquad AD = AF $= 2,4$~cm.\end{center}
(FE) coupe (BC) en H.

Montrer que les triangles ABC et ADE sont semblables et que le triangle HFC est semblable aux précédents.
\item Montrer que les quadrilatères CDEB et CAEH sont inscriptibles.

Tracer les cercles circonscrits.
\item Soit K le deuxième point d'intersection de (FH) avec le cercle circonscrit au quadrilatère CDEB. Montrer que
\begin{center}FA $ \times $ FC = FE X FH\quad et \quad FD X FC = FE $ \times $ FK.\end{center}

En déduire que H est le milieu de [FK].

\end{enumerate}
\end{document}