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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Cameroun}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Cameroun juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

Soit le polynôme $P$ défini dans l'ensemble $\R$ des
réels par
\[P(x) = 2(x - 2)+ (2 - x)^3.\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2)$ et $P\left(\sqrt 2 + 2\right)$.

\item Mettre le polynôme $P$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Déterminer les sous-ensembles $A$ et $B$ de $\R$ suivants :
\[A = \{x/ x \in \R,\: P(x) = 0\}\]
\[B = \{x/ x \in \R,\: P(x)  < 0\}\].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, on définit la relation binaire $\mathcal{S}$ par 
\[x ~\mathcal{S}~ y \longmapsto xy + +y + 2 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Les propositions suivantes sont-elles vraies:
	\begin{enumerate}
		\item \og $3 \mathcal{S} - \dfrac12 \fg,$
		\item \og $-1 \mathcal{S} - 1 \fg,$
		\item \og $- 3 \mathcal{S} - 2 \fg,$
		\item \og $- 2 \mathcal{S} 3 \fg,$ ?
	\end{enumerate}	
\item Déterminer l'ensemble $A$ suivant:
\[A = \{y/y \in \R - 3 ~\mathcal{S}~ y\}.\]

\item On considère un nombre réel $a$ distinct de $- 3$.

Déterminer, en fonction de $a$ l'ensemble $E$ défini par 
\[E = \{y / y \in \R, a ~\mathcal{S}~ y\}.\]

En déduire que $\mathcal{S}$ est une fonction.
\item Déterminer l'ensemble des nombres réels $x$ tel que $x \mathcal{S} x$.

(On pourra utiliser la question 1. b.)

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit le plan $P$ rapporté à un repère orthonormé \Oij.

On considère les points 
\begin{center}A(3~;~2),\quad B$(1~;~- 2)$\quad et\quad C(2~;~0)\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AB}}$
et $\vect{\text{AC}}$.

En déduire que A, B et C sont alignés.
		\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
		\item On considère le vecteur $\vect{U}$ de coordonnées $(1~;~X)$.
		
Déterminer $X$ pour que $\vect{U}$ soit un vecteur directeur de la droite (AB).

Calculer $\left\|\vect{U}\right\|$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $(D)$ la droite d'équation $y = - \dfrac12 x + 5$.
		
Montrer que les droites $(D)$ et (AB) sont orthogonales.
		\item En déduire l'équation de la droite $(D')$ passant par C et orthogonale à la droite (AB).
		\item Représenter les droites (AB), $(D)$ et $(D')$ dans le même graphique.
	\end{enumerate}
\item On considère la translation $T$ de vecteur
\[\vect{v} = - 2\vect{\imath} - \vect{\jmath}.\]

On note  A$_1 =T$(A),\: B$_1 = T$(B) et C$_1 = T$(C).
	\begin{enumerate}
		\item Construire A$_1$, B$_1$, et C$_1$ et déterminer leur coordonnées.
		\item Montrer que A$_1$, B$_1$, et C$_1$ sont alignés.
		
Donner l'équation de la droite (A$_1$B$_1$) et montrer qu'elle est parallèle à la droite (AB).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}