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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Centres étrangers}
\lfoot{\small septembre 1988}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Centres étrangers\footnote{Arabie Saoudite, Bahrein, Égypte, Éthiopie, Israël, Jordanie, Liban, Oman, Qatar, République arabe syrienne, République arabe du Yemen, République démocratique populaire du Yemen, République islamique d'Iran, Soudan.)}
 septembre 1988}~\decofourright}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\emph{Les exercices $1,\: 2,\:  3$ et $4$ sont indépendants.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A = \dfrac34 \times ( - 2)^3 - (- 3)^2$.
\item Calculer
\[B = \dfrac{14}{5} \times \left(\dfrac23 - \dfrac37\right) \quad \text{et} \quad C = \dfrac{\dfrac23 + \dfrac34}{\dfrac35 - \dfrac13}.\]

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation 
\[3(2x + 5) - 1 \geqslant  3x - 7.\]
\item On donne
\[f(x) = \left(4x^2 - 25\right) + 3x(2x - 5)\]
 où $x$ est un nombre réel quelconque.
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $(2x - 5)(x + 1) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\emph{Les exercices $1$ et $2$ sont indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ABCD est un rectangle tel que AB $= 5$ cm et AD $= 3$ cm.
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point E tel que $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AD}}$.
		\item Montrer que $\vect{\text{CE}} = \vect{\text{OC}}$.
		
En déduire la position du point C sur le segment [BE].
		\item Construire le point F tel que $\vect{\text{DF}} = 2\vect{\text{CB}}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le point A est le milieu du segment [OF].
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle équilatéral ABC de côté $10$~cm et la hauteur issue de A qui coupe la droite (BC) en H.
		
Quelle est la position du point H sur le segment [BC] ?

Calculer la longueur AH.
		\item Soit K le point du segment [AC] tel que CK $= 2,5$ cm.
		
La parallèle à la droite (BC) passant par K coupe la droite (AB) en L.

Calculer la longueur AL.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (unité : $1$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C de coordonnées A(1~;~2), \:B$(- 3~;~0)$,\: C(4~;~4).
\item Calculer les longueurs AB, AC et BC.
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Écrire une équation de la droite (AB).
\item Construire la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac12 x$.

Que peut-on dire des droites (AB) et $\Delta$ ?
\item Trouver les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme.

Montrer que ABDC est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{document}