\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{colortbl} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small juin 1997} \lfoot{\small Centres étrangers} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Centres étrangers juin 1997 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Factoriser A et $B$, développer et réduire $C$ : $A=(x - 1)^2 - (8 - x)(x - 1)$ $B = x^2 - 26x + 169$ $C = (4x + 1)^2- (5x - 2)(3x - 1)$ \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Résoudre les équations ou inéquation: \begin{enumerate} \item $x(2x - 7) = 0$ \item $4x^2 = 100$ \item $\dfrac{5x + 1}{6} > \dfrac{3x - 3}{8}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Calculer les nombres suivants (on demande des valeurs exacte les plus simples possibles et non des valeurs approchées) : $E= \sqrt{16} + \sqrt 9 -\sqrt{25}$ $F = 4 \sqrt 2 \times \sqrt{90}$ (en fonction de $\sqrt 5$) $G = \left(\sqrt 6 - \sqrt 3\right)^2$ (en fonction de $\sqrt 2$) \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip Le périmètre d'un rectangle est égal à 36 cm. Si on triple sa longueur et que l'on double sa largeur, son périmètre augmente de 56 cm. Déterminer la longueur et la largeur du rectangle. \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,5.4) \psframe(0.2,0.2)(5.3,3)%ABFE \psline(5.3,0.2)(6.6,2.2)(6.6,5)(5.3,3)%BCGF \psline(6.6,5)(1.5,5)(0.2,3)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,2.2)(6.6,2.2)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.5,2.2)(1.5,5)%DH \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(4.05,2.2)%AM \uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](5.3,0.2){B} \uput[r](6.6,2.2){C} \uput[ur](1.5,2.2){D} \uput[l](0.2,3){E} \uput[r](5.3,3){F} \uput[ur](6.6,5){G} \uput[u](1.5,5){H} \uput[u](4.05,2.2){M} \end{pspicture} \end{center} L'unité est le centimètre. ABCDEFGH est un pavé droit dont les dimensions sont : AB $= 8$, \quad BC $= 6$ et EA $= 5$. Le point M est le milieu de [DC] \medskip \begin{enumerate} \item Dessiner dans le plan en vraie grandeur le quadrilatère ABCM. Démontrer que le quadrilatère ABCM est un trapèze rectangle. Calculer son aire en précisant l'unité. \item On considère la pyramide EABCM de sommet E. Quelle est sa hauteur ? (On ne demande pas de justifier la réponse.) Calculer le volume de celle pyramide en précisant l'unité. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{minipage}{0.58\linewidth} On donne le croquis ci-contre qu'on ne demande pas de reproduire. L'unité est le centimètre. Le triangle BHC est rectangle en H. AH $= 2$\:;\: HC $= 5,2$ et BC $= 6,5$. Les dimensions ne sont pas respectées sur le croquis. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.38\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4.5,5) %\psgrid \pspolygon(1.8,4.7)(0.2,2.2)(4.3,0.2)%ABC \psline(0.2,2.2)(2.6,3.3) \uput[u](1.8,4.7){A} \uput[dl](0.2,2.2){B} \uput[d](4.3,0.2){C} \uput[ur](2.6,3.3){H} \rput(2.4,4){2}\rput(3.5,2.2){5,2}\rput(2.1,0.9){6,5} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Calculer BH. \item Calculer $\sin \widehat{\text{HBC}}$. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{HBC}}$ (on donnera la valeur arrondie au degré près). \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$ (on donnera la valeur arrondie au degré près). \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip L'unité est le centimètre. On donne un triangle ABD tel que AB $= 5$,\quad AD $= 6$ et BD $= 7$. \medskip \begin{enumerate} \item Construire le point E image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BD}}$. \item Construire le point F tel que $\vect{\text{BF}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{BD}}$. \item Montrer que D est le milieu de [EF]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip L'unité de longueur est le centimètre. EFG est un triangle tel que EF $= 6$\quad EG $= 8$\quad FG $= 10$. Dans cette première partie, M est le point de la demi-droite [EF) tel que M n'appartient pas au segment [EF] et FM $= 2$. La parallèle à la droite (EG), passant par M, coupe la droite (OF) en L selon la figure suivante sur laquelle les dimensions ne sont pas respectées. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.5,4) %\psgrid \pspolygon(0.2,3.5)(2.3,3.5)(2.3,0.2)(6.5,0.2)%LMEG \uput[l](0.2,3.5){L} \uput[ur](2.3,3.5){M} \uput[l](2.3,2.2){F} \uput[dl](2.3,0.2){E} \uput[dr](6.5,0.2){G} \uput[r](2.3,2.9){2}\uput[l](2.3,1.3){6}\uput[d](4.4,0.2){8}\uput[ur](4.4,1.4){10} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer FL et ML. (On donnera chacun des deux résultats sous forme d'une fraction irréductible.) \item Calculer le périmètre $P_1$ du triangle EFO et le périmètre $P_2$ du triangle FML. Démontrer que $P_2 = \dfrac13 P_1$ et expliquer ce résultat. \item Démontrer que les triangles EFG et FML sont rectangles. \item Calculer l'aire $\mathcal{A}_1$ du triangle EFO et l'aire $\mathcal{A}_2$ du triangle FML Démontrer que $\mathcal{A}_2 = \dfrac19 s\mathcal{A}_1$, et expliquer ce résultat. \end{enumerate} \item Dans cette deuxième partie, le point M est toujours sur la demi-droite [EF) et M n'appartient pas au segment [EF]. On pose FM $= x$. La parallèle à la droite (EG) passant par M coupe la droite (OF) en L. \begin{enumerate} \item Calculer ML et FL en fonction de $x$. \item Démontrer que le périmètre $P_2$ du triangle FML exprimé en fonction de $x$ est égal à $4x$. \item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $P_1 = P_2$ ? \item Soit (O, I, J) un repère orthogonal tel que OI $= 2$ et OJ $= 0,5$. \item Représenter graphiquement les fonctions affines définies par $f(x) = 4x$ et $g(x) = 24$. \item Comment ce graphique permet-il de retrouver les résultats de la question \textbf{2. c.} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}