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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Centres étrangers}
\lfoot{\small juin 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Centres étrangers juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


On donne les deux nombres suivants : 

\[A = \sqrt{45} -2\sqrt5 + \sqrt{500}, \qquad 
B = \dfrac78 - \dfrac{3}{15}  \times \dfrac{25}{12}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs, $b$ le plus petit possible.
\item En indiquant les étapes intermédiaires de calcul, écrire $B$ sous la forme d'une
fraction irréductible.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\dfrac{36}{47}$ est une fraction irréductible.
\item Montrer que $\dfrac{216}{282}$ est égale à la fraction irréductible $\dfrac{36}{47}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne l'expression : $E = (x - 2)^2 - 4x(x - 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation :
$(x - 2) (- 3x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un groupe de 32 personnes décide de faire des randonnées à vélo. Afin de  mieux  connaître la valeur de chacun, il est convenu de faire une première balade de 28 km, chacun roulant à son propre rythme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Louise, qui fait partie du groupe, a mis 1~h 45 pour faire cette balade.
	\begin{enumerate}
		\item Établir que le temps mis par Louise peut s'écrire 1,75 h.
		\item Calculer la vitesse moyenne de Louise exprimée en kilomètres par heure.
	\end{enumerate}
\item Chaque participant ayant calculé sa vitesse moyenne on obtient les résultats reqroupés dans le tableau ci-dessous. Compléter ce tableau.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
\footnotesize Vitesse moyenne $V$ (en km/h)&$5 \leqslant V < 10$&$10 \leqslant V \leqslant 15$&$15 \leqslant V < 20$&$20 \leqslant V < 25$&$25 \leqslant V < 30$&$30 \leqslant V < 35$\\ \hline
\footnotesize Effectif& 6& 10 &4& 2& 8& 2\\ \hline
\footnotesize Fréquence (en \%)&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le nombre de personnes étant trop important et les vitesses moyennes de chacun trop différentes on décide, pour rendre les sorties plus agréables, de séparer les participants en deux groupes : celui des plus rapides et celui des moins rapides. 

Les deux groupes ont le même effectif.

Quelle vitesse fallait-il atteindre ou dépasser lors de la première balade pour faire partie du groupe des plus rapides ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
\pspolygon(0.5,0.5)(4.8,0.5)(3.1,2.8)%BCA
\uput[dl](0.5,0.5){B} \uput[dr](4.8,0.5){C} \uput[u](3.1,2.8){A} \uput[d](3.1,0.5){H}
\psline(3.1,2.8)(3.1,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On donne les longueurs suivantes en cm :

\smallskip

BH $= 5,8$ ;  HC $= 4,5$ ; AC $= 7,5$ ;  AH $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant uniquement une règle graduée et un compas construire cette figure en vraie grandeur (laisser les traits de construction apparents).
\item Démontrer que le triangle ACH est rectangle en H.
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\item Soit M le milieu de [AC] et D le symétrique de H par rapport à M. Placer M et D sur la figure réalisée au 1.

Démontrer que le quadrilatère ADCH est un rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Utiliser une feuille de papier millimétrée.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J), placer les points:
A$(-1~;~+3)$ et B(+3~;~+2).
\item Placer le point C, image du point O par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Calculer la longueur AB.
\item Placer le point D tel que $\vect{\text{JD}} = \vect{\text{JA}} + \vect{\text{JB}}$. (Aucune explication n'est demandée.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}Le dessin ci-contre représente une pyramide SABC de hauteur SA $= 5$ cm et dont la base est le triangle ABC rectangle en B ;

AB $= 4$ cm et BC $= 3$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle ABC puis le volume de la pyramide SABC.
\item Dessiner un patron de cette pyramide.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(3,4.3)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,1.3)(2,0.2)(2.6,1.5)(0.2,4)%ABCS
\psline(2,0.2)(0.2,4)%BS
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](0.2,1.3)(2.6,1.5)
\psline(0.2,1.45)(0.4,1.35)(0.4,1.18)
\psline(0.2,1.5)(0.4,1.55)(0.4,1.35)
\psline(1.8,0.3)(1.9,0.5)(2.1,0.37)
\uput[dl](0.2,1.3){A} \uput[dr](2,0.2){B} \uput[r](2.6,1.5){C} \uput[u](0.2,4){S} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Monsieur Ferdinand souhaite construire un appentis pour ranger ses outils. Il a réalisé le dessin ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,8.5)
%\psgrid
\psline(0.2,1.7)(0.2,4)(5,7.5)(6.6,8.4)(8.5,6.3)(8.5,3.9)(6.6,2.6)%EH...
\psline(0.2,4)(2.4,5.4)(6.6,8.4)%..HV..
\psline(2.4,5.4)(4.1,3.3)(8.5,6.3)
\psline(0.2,4)(4.1,3.3)(4.1,0.9)%HTS
\pspolygon[linewidth=1.4pt](4.1,3.3)(4.1,0.9)(5.2,0.7)(6.6,1.63)(6.6,3.)(5.2,2.05)(5.2,0.7)(5.2,2.05)%TSBCDA
\psline[linewidth=1.4pt](4.1,3.3)(5.5,4.23)(6.6,2.96)%TUD
\psline(0.2,1.7)(5.2,0.7)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](4.1,0.9)(5.5,1.83)(5.5,4.23)%SRU
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](5.5,1.83)(6.6,1.63)%SRU
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](4.1,0.9)(6.5,0.43)(5.2,2.03)%SOA
\uput[u](4.1,3.3){T} \uput[u](5.5,4.23){U} \uput[ul](0.2,4){H} \uput[d](2.4,5.4){V} \uput[u](5.2,2.03){A} \uput[ur](6.6,2.96){D} \uput[d](5.2,0.7){B}\uput[d](6.6,1.63){C}
\uput[d](4.1,0.9){S}\uput[ur](5.5,1.83){R}\uput[d](6.5,0.43){O}\uput[d](0.2,1.7){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

L'appentis est représenté par le prisme droit ABSTCRUD. 

La base de ce prisme est le trapèze rectangle ABST.

Le point O est imaginaire.


Monsieur Ferdinand veut que le toit de l'appentis soit dans le prolongement du toit de sa maison (V, T{}, A et O alignés).

Les droites (TH) et (EB) sont horizontales donc parallèles.

Les points E, O, B et S sont alignés.

Les dimensions suivantes sont imposées:

ST $= 3$ m\quad BC $= 2,5$ m \quad l'angle $\widehat{\text{VTH}}$ mesure $40\degres$

Monsieur Ferdinand peut choisir la profondeur SB de son appentis.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que la profondeur SB de l'appentis est égale
à 1,2 m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la mesure de $\widehat{\text{AOB}}$ est égale à $40\degres$.

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{STO}}$.
\item Dessiner à l'échelle 1/50 la face ABST de l'appentis (faire figurer le point O sur ce dessin.)
\item On travaille à nouveau avec les dimensions réelles.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer OS et OB (arrondir au cm).
		\item Calculer AB, (si nécessaire arrondir au cm).
		\item Calculer une valeur approchée du volume de l'appentis.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on ne connaît pas la profondeur SB de l'appentis. Monsieur Ferdinand désire que:

\begin{itemize}
\item le volume de son appentis soit supérieur à 8 m$^3$ ;
\item la hauteur minimale AB de son appentis soit supérieure à 1,60 m.
\end{itemize}

On désignera par $x$ la longueur de [SB] exprimée en mètres. On utilisera: OS $= 3,6$~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer OB en fonction de $x$.
\item Montrer, en utilisant le théorème de Thalès, que AB $= 3 - \dfrac{x}{1,2}$.
\item Résoudre l'inéquation : $3 - \dfrac{x}{1,2} > 1,6$.
\item Le graphique ci-après représente le volume de l'appentis exprimée en m$^3$ en fonction des valeurs de $x$.

 En observant ce graphique donner cinq valeurs de $x$ pour lesquelles le volume de l'appentis est supérieur à 8 m$^3$.
\item En utilisant les réponses obtenues aux questions 2., 3. et 4. de cette partie B, donner une valeur de SB qui corresponde aux désirs de Monsieur Ferdinand.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=6.25mm}
\begin{pspicture*}(-0.4,-2)(4.2,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,0)(5,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=4]{->}(0,0)(0,0)(4.2,15)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3.6}{3 x 2.4 div sub x mul 2.5 mul}
\uput[u](4.1,0){$x$}\uput[r](0,14.5){Volume en m$^3$}
\uput[d](3.3,-1){(Longueur SB en m)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}