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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Clermont--Ferrand}
\lfoot{\small juin 1983}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont--Ferrand juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

%\textbf{Algèbre}

%\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les applications, de $\R$ dans $\R$ définies de la façon suivante :

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x + 5)^2 - (x + 3)^2\\
g(x)&=&(x +2)(2x - 1) - (x + 2)(x - 5).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$ et $g(x)$. 
\item Calculer $f\left(-\dfrac12\right)$ et $g\left(1 - \sqrt 3\right)$.

Sachant que $1,732< \sqrt 3 < 1,733$ donner un encadrement de $g\left(1 - \sqrt 3\right)$ à $10^{-2}$ près.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$. 
\item Résoudre, dans $\R$,

\[f(x) = 0,\qquad f(x) = g(x),\qquad g(x) = 8.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé
\Oij, tracer les droites $\left(\Delta_1\right)$ et $\left(\Delta_2\right)$ d'équations respectives

\begin{center}$y =x + 4$ \qquad et \qquad $y = 3x + 8$.\end{center}



		\item Soit M le point d'intersection de $\left(\Delta_1\right)$ avec $\left(\Delta_2\right)$.

Calculer les coordonnées de M.

Vérifier graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points suivants :

\begin{center}A$(-2~;~2)$,\quad B(4~;~5),\quad C$(1~;~-4)$\quad et \quad D$(-5~;~-7)$.\end{center}

\item Montrer que (A, B, C, D) est un parallélogramme.
\item Montrer que (A, B, C) est un triangle rectangle et isocèle.
\item Calculer les coordonnées du milieu M de [BC].
\item Calculer les coordonnées de E symétrique de A par rapport à M.
\item Montrer que (A, B, E, C) est un carré.
\item Montrer que les points D, C, et E sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}