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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin  1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{enumerate}
\item Établir l'identité

\[(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab.\]

\item La longueur et la largeur d'un rectangle ont pour grandeurs respectives $a$ et $b$.

Sachant que la surface de ce rectangle est égale à $420$~m$^2$ et que la longueur surpasse
la largeur de $23$~m, calculer, en utilisant l'identité précédente, le demi-périmètre $p$ du rectangle.

Calculer ensuite la longueur et la largeur.
\item  On pose

\[y_1 = x - 23,\qquad  y_2 = 47 - x.\]

Représenter, par rapport à un même système d'axes de coordonnées rectangulaires, les variations de $y_1$ et de $y_2$.

Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites obtenues.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un carré ABCD de côté $a$.

Sur le côté AB comme diamètre, on décrit un cercle de centre O.

On mène du point C la tangente à cette circonférence autre que CB ; soit T son point de contact et soit E l'intersection de OT avec AD.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que ET = ED.

Calculer, en degrés, la valeur de l'angle OCE.
\item On pose DE $= x$. Exprimer en fonction de $a$ et de $x$
les côtés du triangle AOB.

Déduire de ces expressions la grandeur de DE en fonction de $a$.
\item Soit I l'intersection de (CT) le côté [AD].

Calculer AI en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}