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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand juin 1960}}

ENSEIGNEMENT LONG

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement la fonction  $y = 3x + 2$.
\item Mettre l'expression $9x^2 - 6x + 4$ sous la forme $(3x - 1)^2 + p$, la lettre $p$ désignant un nombre positif, que l'on calculera.

En déduire que la fraction 
\[F(x) = \dfrac{27x^2 + 8}{9x^2 - 6x + 4}\]
 a un sens pour toutes les valeurs de x.
\item Vérifier l'identité 
\[a^2 + b^2 = (a + b)\left(a^2 - ab + b^2\right).\]
 Utiliser cette identité pour simplifier la fraction $F(x)$ ; on trouvera une expression du premier degré.
\item Montrer que le graphique tracé à la question 1 permet de trouver sans calcul les valeurs de $x$ pour lesquelles la fraction $F(x)$ est inférieure à $5$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un cercle de centre O on trace deux rayons [OA] et [OB] formant un angle obtus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On trace les tangentes au cercle en A et B ; elles se coupent en M.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que MA = MB.
		\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{AOB}}$ et $\widehat{\text{AMB}}$ sont supplémentaires.
	\end{enumerate}
\item La droite (AO) coupe la droite (MB) en N.

Démontrer que les triangles NOB et NMA sont semblables et que 
\begin{center}NB $\cdot$ NM = NO $\cdot$ NA.\end{center}
\item La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BON}}$ coupe (MN) en I ; le segment [ON] coupe le cercle en C.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les triangles BOI et COI sont égaux ; en déduire que (IC) est tangente au cercle.
		\item Démontrer que les droites (IC) et (MA) sont parallèles; en déduire que les triangles NIC et NMA sont semblables et que
\[\dfrac{\text{IB}}{\text{IN}} = \dfrac{\text{MB}}{\text{MN}}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}