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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AB $= 12$~cm et BC $= 20$ cm.

On prend un point M sur AB, entre A et B, et l'on pose AM $= x$.

Par ce point M, on mène la parallèle à (BC), qui coupe (AC) en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en fonction de $x$ le périmètre $y_1$ du triangle AMN et le périmètre $y_2$ du trapèze MNCB.
\item Pour quelle valeur de $x$ le périmètre du triangle AMN est-il égal au périmètre du trapèze ?
\item Représenter graphiquement les variations des fonctions $y_1$ et $y_2$ quand M décrit le segment [AB] et donner une solution graphique de la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O et de rayon $5$~cm et un point P tel que OP $= 10$~cm.

Par P on mène les deux tangentes (PA) et (PB) au cercle.

(AB) coupe (OP) en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{APB}}$ et les longueurs PA, OH, PH, AH.

Comparer les triangles PAH et HOB ; quelle est la valeur du rapport de similitude ?
\item (OB) coupe (PA) en C ; par H on mène la parallèle à (BO), qui coupe les droites (PB), (AO), (PA) respectivement en D, E, F{}.
	\begin{enumerate}
		\item Comparer et évaluer les rapports $\dfrac{\text{AE}}{\text{AO}}$ et $\dfrac{\text{AF}}{\text{AC}}$.
		\item Calculer les longueurs PC, AF{}, PD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}