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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré chacune des expressions suivant,

\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (x - 5) (3x - 8) + (x - 5)^2 + 2x^2 - 50 \:\text{et}\\ 
B(x) &=&3x - 15 - x(x - 5).
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\item Soit $F(x)$ la fraction simplifiée. Calculer la valeur numérique de $F(x)$ pour $x = 0$ et pour $x = \sqrt 3$.
\item Pour quelle valeur de $x$,\: $F(x)$ est-elle égale à $3$ ?
\item Construire, par rapport à deux axes de coordonnées rectangulaires (unité : 1 cm), la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 2x - 1$.

Écrire l'équation de la droite $\left(D_2\right)$  passant par le point M(0~;~3) et perpendiculaire à $\left(D_1\right)$.

Calculer les coordonnées du point d'intersection, H. de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Sur une droite $x'x$ on donne un segment [AB], de longueur $a$. C et D sont les deux points de $x'x$ tels que $\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}} =  \dfrac{\text{DA}}{\text{DB}} = 3$ (C est entre A et B ; D est hors du segment [AB]).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer CA, CB, DA, DB en fonction de $a$.
\item On trace le cercle de diamètre [AB].

Calculer la puissance de C par rapport à ce cercle.
\item On mène par D une tangente au cercle de diamètre [AB] ; elle touche ce cercle au point M.

Calculer la longueur de DM en fonction de $a$.
\item On trace le triangle AMB et la demi-droite [MC), puis on mène par B la parallèle à (AM), qui coupe (MC) en J et (MD) en J.

Comparer les triangles AMC et BIC, puis les triangles DJB et DMA.
\item En déduire que B est le milieu de [IJ] et que MB
est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CMD}}$.

(Les questions 4. et 5. sont indépendantes des résultats des questions qui les précèdent.)
\end{enumerate}
\end{document}