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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{juin 1966}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit le polynôme 
\[A(x) = 2(x - 3)^2 - x^2 + 9 + (x - 3)(x +8).\]
Effectuer les opérations et donner à $A(x)$ la forme d'un polynôme réduit et ordonné.

\item Mettre $A(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit la fraction
\[F(x) = \dfrac{2x^2 - 7x + 3}{3x^2 - 27}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier la fraction.
		\item Trouver les valeurs numériques de $F(x)$ pour
$x = - 3$ et pour $x = \dfrac12$.
		\item Calculer $x$ pour que cette fraction $F(x)$ soit égale à 1.
	\end{enumerate}
\item Représenter, sur un même système d'axes, les fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x - 1$\qquad et\qquad  $y_2 =3x + 9$.\end{center}

Retrouver sur le graphique, en expliquant, la solution de la question c. du 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O, de rayon $R$, un point A extérieur et la droite $xy$ perpendiculaire à (OA) en A.

Soit M un point quelconque variable de $xy$ et les tangentes (MD) et (MC) au cercle (D du même côté que M
par rapport à OA).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points M, A, C, O et D sont sur un même cercle, dont on précisera la position du
centre, O$'$.
\item La corde [CD] coupe (OA) en B et (OM) en H.

Démontrer la similitude des triangles OHB et OAM.

Établir la relation
\begin{center}OB $\cdot$ OA = OH $\cdot$ OM $= R^2$.\end{center}
\item Soit K l'orthocentre du triangle MCD.

Montrer que le quadrilatère DOCK est un losange.
\item Dans le cas de figure particulier où OA $= \dfrac{3R}{2}$ et AM $= 3R$, calculer OM et OH (en fonction de $R$).
\end{enumerate}
\end{document}