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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Clermont-Ferrand~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un polynôme

\[A(x) = 3(x - 1)^2 - x^2 + 1 + (x - 1)(x + 2).\]

	\begin{enumerate}
		\item Écrire $A(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné.
		\item Écrire $A(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier
degré.
	\end{enumerate}
\item Soit la fraction $B(x) = \dfrac{3x^2 - 5x  + 2}{9x^2 - 4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer l'ensemble de définition de $B(x)$.
		\item Simplifier $B(x)$.
		\item Calculer $x$ pour que la fraction $B(x)$ soit égale à zéro.
		\item Calculer $x$ pour que la fraction $B(x)$ soit égale à 1.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthonormé, tracer les courbes représentatives des fonctions $f_1$ et $f_2$ :

\[\begin{array}{l c l}
x&\xrightarrow{~~~f_1~~~}&y = x - 1\\
x&\xrightarrow{~~~f_2~~~}&y = 3x + 2
\end{array}\]

		\item Retrouver sur le graphique et expliquer le résultat de la question \textbf{2. d.}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

On considère un triangle ABC rectangle en A dont  le côté [AB] a pour mesure $a$ et dont l'hypoténuse [BC] a pour mesure $2a$, $a$ étant une longueur donnée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le cercle tangent à (AC) en C et passant par B.

Soit O son centre. Quelle est la nature du quadrilatère ACOB ?

Montrer que le triangle OBC est équilatéral.
\item Calculer les côtés et les diagonales du quadrilatère ACOB.

Les diagonales [AO] et [BC] de ce quadrilatère se coupent en I.

En utilisant des triangles homothétiques de sommet I, calculer IA, IB, IC et IO.
\item La droite (AB) coupe le cercle (O) en B et D.

En utilisant la puissance de A par rapport à ce cercle, calculer AD, puis BD et DC.

De quels polygones réguliers inscrits dans le cercle (O),  [BD] et [DC] sont-ils les côtés ?
\end{enumerate}
\end{document}