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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Clermont-Ferrand juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression
\[E(x) = 2\left(4x^2 - 25\right) - (2x + 5)^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Effectuer les opérations indiquées, puis réduire et ordonner le polynôme obtenu, suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item Décomposer l'expression $E(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.
		\item Calculer les valeurs numériques de $E(x)$ pour
\begin{center}$x = 0,\quad  x = - \dfrac52$\quad et \quad $x =\sqrt 2$. \end{center}

Utiliser, pour chacun de ces calculs, la formule de $E(x)$ qui permet le calcul le plus rapide.
	\end{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'expression 
\[F(x) = \dfrac{E(x)}{4x^2  + 20x + 25}\]

est-elle définie ?

Simplifier l'expression $F(x)$, que l'on appellera alors $F'(x)$.

Résoudre les équations 
\begin{center}$F'(x) = 1$,\quad  puis \quad $F'(x) = - 1$.\end{center}
\item Tracer les droites $\left(D_1\right), \: \left(D_2\right)$ et $\left(D_3
\right)$ d'équations respectives :

\begin{center}$y = 2x - 15,\quad  y=-2x- 5$ \quad et \quad $y = 2x + 5$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Construire un triangle (ABC) tel que AB $= 8$~cm, BC $= 10$~cm et AC $= 6$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ce triangle est rectangle en A.
\item On trace la hauteur [AH].

Calculer HB, HC et AH.
\item H se projette orthogonalement en D sur (AB) et en E sur (AC).

Quelle est la nature du quadrilatère (ADHE) ?

Calculer les longueurs des côtés de ce quadrilatère.
\item Démontrer que les triangles (AED) et (ABC) sont semblables.

En déduire que le quadrilatère (CEDB) est inscriptible.
\end{enumerate}
\end{document}