\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Clermont-Ferrand juin 1981},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1981}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\begin{center}$f(x) = (x - 1)(x - 3)$\quad et \quad $g(x) = (2x + 3)^2 - (x + 4)^2$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Écrire $g(x)$ sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.

Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 0$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme développée, réduite et ordonnée.
\item Calculer $f\left(1 + \sqrt 3\right)$. 

Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$,
donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $f\left(1 + \sqrt 3\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$, 

\[f(x) + 1 = (x - 2)^2.\]

Utiliser ce résultat pour résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = - 1$.
		\item Montrer que l'inéquation $f(x) < - 1$ n'a pas de solution dans $\R$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C définis par

\begin{center}
$\vect{\text{OA}} = 2\vect{\imath}  + 2\vect{\jmath}, \qquad  \vect{\text{OB}} = -\vect{\imath} + 5\vect{\jmath}$ \quad et \quad $\vect{\text{OC}}= - 3\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$.\end{center}

\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$. 

Montrer que ces vecteurs sont orthogonaux.

Préciser la nature du triangle (A, B, C).
\item Calculer les distances $d$(A, B) et $d$(B, C). 

$\alpha$ est la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$. Calculer $\tan a$.

En déduire la valeur approchée de $\alpha$ à $1\degres$ près par défaut.
\item Calculer les coordonnées du point I centre du cercle circonscrit au triangle (A, B, C).

Calculer le rayon $R$ de ce cercle et montrer que le point O appartient au cercle.
\item Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, C, O) ?
\end{enumerate}
\end{document}