\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=2cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %%%%%%% \def\landscape{% \clearpage \setlength\paperwidth{297mm} \setlength\paperheight{210mm} \setlength\pdfpagewidth\paperwidth \setlength\pdfpageheight\paperheight } \def\endlandscape{% \clearpage \setlength\paperwidth{210mm} \setlength\paperheight{297mm} \setlength\pdfpagewidth\paperwidth \setlength\pdfpageheight\paperheight } %%%%%%% %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Clermont-Ferrand juin 1990}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 1990} \rfoot{\small Clermont-Ferrand} \lfoot{\small juin 1990} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1990 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES} \medskip \emph{Les deux exercices sont indépendants} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer \[\sqrt{500} + 3\sqrt 5 - 3\sqrt{45}.\] Donner le résultat sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des entiers. \item On donne deux nombres $A$ et $B$ : \[A = 2 + \sqrt 6\: \quad \text{et}\quad B = 1 - \sqrt 6.\] Calculer $A^2 ; B^2 ; A \times B$. Donner chaque résultat sous la forme $p + q\sqrt 6$, $p$ et $q$ étant des entiers positifs ou négatifs. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Soit l'expression \[E = (3x - 1)^2 - 9\] \begin{enumerate} \item Factoriser cette expression. \item Résoudre l'équation $E = 0$. \item Calculer la valeur de $E$ pour $x = \dfrac16$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES} \medskip \emph{Les deux exercices sont indépendants} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Soit un rectangle ABCD tel que AB = 12 et AD = 9 (l'unité choisie est le centimètre). \medskip On place le point E sur le segment [AB] et le point M sur le egment [AD] tels que AB = 7,2 et AM = 5,4. \medskip \begin{enumerate} \item Faire la figure. \item Démontrer que les droites (EM) et (BD) sont parallèles. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip L'unité choisie est le centimètre. Soit un cube ABCDEFGH d'arête $8$. On place le point M sur le segment [AB] tel que AM $= 6$ et le point I sur la face ABFE tel que le triangle AIM soit rectangle en I, et MI $= 2$. (Ne pas refaire la figure donnée.) \begin{figure} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,7) %\psgrid \psframe(0.2,0.2)(4.2,4.2)%DHEA \psline(4.2,0.2)(6.2,2.2)(6.2,6.2)(4.2,4.2)%HGFE \psline(6.2,6.2)(2.2,6.2)(0.2,4.2)%FBA \psline(0.2,4.2)(2.7,5)(3.2,4.2)%AIM \psline(2.53,4.95)(2.63,4.73)(2.8,4.78) \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(2.2,2.2)(6.2,2.2)%DCG \psline[linestyle=dashed](2.2,2.2)(2.2,6.2)%CB \uput[l](0.2,4.2){A} \uput[ul](2.2,6.2){B} \uput[ul](2.2,2.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[r](4.2,4.2){E} \uput[ur](6.2,6.2){F} \uput[r](6.2,2.2){G} \uput[dr](4.2,0.2){H} \uput[u](2.7,5){I} \uput[d](3.2,4.2){M} \end{pspicture} \end{center} \end{figure} \begin{enumerate} \item Représenter le carré ABFE en grandeur réelle, placer le point M ; construire le point I (laisser apparentes les lignes de construction). \item Calculer AI (on donnera la valeur exacte de AI). \item Calculer la valeur arrondie à $1\degres$ près de l'angle $\widehat{\text{IAM}}$. \item Calculer l'aire du triangle IAM en cm$^2$, puis le volume de la pyramide de sommet D et de base le triangle IAM en cm$^3$ (on rappelle que l'angle $\widehat{\text{DAI}}$ est droit). On donnera la valeur exacte de chaque résultat puis la valeur approchée arrondie au dixième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PROBLÈME} \medskip Un automobiliste se rend de Clermont-Ferrand à Paris en utilisant l'autoroute A 71. La distance de Clermont-Ferrand à Paris est $400$~km. Le trajet de l'automobiliste est représenté par le graphique ci-après. \begin{center} \psset{unit=0.025cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-100,-40)(400,420) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=60,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(400,420) \psset{labels=none,tickstyle=bottom} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=25](0,0)(0,0)(400,420) \uput[l](-30,0){Clermont-Fd} \uput[l](-30,400){Paris} \uput[r](0,410){Distances (en km)} \uput[u](330,0){Durée en minutes} \uput[d](0,-20){14 h}\uput[d](60,-20){15 h}\uput[d](120,-20){16 h} \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(90,150)(110,150)(140,200)(170,150)(180,150)(330,400) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,400)(330,400)(330,0) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,150)(90,150)(90,0) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,200)(140,200)(140,0) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](110,150)(110,0) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](180,0)(180,150)(0,150) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](170,0)(170,150)(0,150) \end{pspicture} \end{center} En abscisse sont portées les durées calculées en minutes, à partir de 14 h, heure de départ de Clermont-Ferrand de l'automobiliste. En ordonnée sont portées les distances calculées en kilomètres, entre l'automobiliste et Clermont-Ferrand. \medskip \begin{enumerate} \item En lisant sur le graphique, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Quelle est la durée totale du voyage de Clermont-Ferrand à Paris ? À quelle heure l'automobiliste arrive-t-il à Paris ? \item À quelle distance de Clermont-Ferrand l'automobiliste se trouve-t-il une heure et demie après son départ ? \item Combien d'arrêts a-t-il faits ? \item Quelle est la durée totale des arrêts ? \item Qu'a fait l'automobiliste entre 16~h~20~min et 16~h~50~min ? \end{enumerate} \item Un deuxième automobiliste part de Paris à 15 h pour se rendre à Clermont-Ferrand en empruntant lui aussi l'autoroute A 71. Il roule à $100$ km/h. Au bout de deux heures et demie, il s'arrête pendant $30$~minutes. Puis il repart à la même vitesse jusqu'à Clermont-Ferrand sans s'arrêter. \begin{enumerate} \item Représenter le trajet Paris-Clermont-Ferrand de ce deuxième automobiliste sur le graphique ci-avant. En abscisse sont toujours portées les durées calculées en minutes à partir de $14$~h. En ordonnée sont portées les distances calculées en kilomètres, entre ce deuxième automobiliste et Clermont-Ferrand. \item Trouver, à partir du graphique, une valeur approchée de l'heure de croisement des deux automobilistes, ainsi qu'une valeur approchée de la distance du lieu de croisement à Clermont-Ferrand. \item Calculer la vitesse moyenne du deuxième automobiliste, en km/h, arrondie à une unité près, sur la totalité du trajet, arrêt inclus. \end{enumerate} \item Placer, sur le graphique précédent, les points A, B, C, D définis par \begin{center}A(180~;~150) ; B(330~;~400) ; C(60~;~400) ; D(210~;~150).\end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite (AB). \item On admet qu'une équation de la droite (CD) est \[y = - \dfrac53 x + 500.\] Calculer les coordonnées du point commun I des droites (AB) et (CD). \item Que représente l'abscisse obtenue ? l'ordonnée obtenue? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}