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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Clermont }
\lfoot{\small juin 1994}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction aussi simple que possible:

\[A = \dfrac23 - \frac{12}{21} \times \dfrac78 ; \qquad B = \dfrac{\dfrac34 + \dfrac13}{2 - \dfrac73}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression $E = (3x- 2)^2 - 9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $E$ pour $x = \sqrt 2$.

(On donnera le résultat sous la forme $a \sqrt 2 + b$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.)
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 1) (3x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

En période de soldes, un commerçant applique une baisse de 8\,\% sur ses prix.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le prix soldé d'un article qui coûtait $75$ F avant les soldes.
\item On désigne par $x$ l'ancien prix d'un article et par $y$ le prix soldé de cet article.

Exprimer $y$ en fonction de $x$.
\item Le prix soldé d'un article est $188,60$ F. Calculer l'ancien prix de cet article.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%fig
On considère la figure ci-dessus (ne pas la refaire) . on donne,
l'unité de longueur étant le centimètre,

\[\text{AD} = 3, \quad  \text{DE} = 6, \quad  \text{CE} = x.\]

\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction de x, les aires, en centimètres carrés, du rectangle ABCD et du triangle BCE.
\item On considère un repère orthogonal ; on prend pour unités, 1 cm en abscisses, 0,5 cm en ordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer, sur papier millimétré, la droite $D_1$ d'équation $y = \dfrac32 x$
et la droite $D_2$ d'équation $y =-3x + 18$.
		\item Lire sur le graphique la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du rectangle ABCD est égale à l'aire du triangle BCE.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le quadrillage fourni est constitué de triangles équilatéraux.

Voici quatre débuts de phrases :

\begin{itemize}
\item La figure 2 est l'image de la figure 1 par une . 
\item La figure 3 est l'image de la figure 2 par une . 
\item La figure 4 est l'image de la figure 3 par une . 
\item La figure 5 est l'image de la figure 4 par une  .
\end{itemize}

et leurs fins (données dans le désordre) :
\begin{itemize}
\item symétrie centrale
\item translation.
\item symétrie axiale.
\item rotation.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reconstituer les quatre phrases en écrivant la fin de chacune.
\item Placer sur le quadrillage :

\begin{itemize}
\item le point O, centre de la symétrie centrale ;
\item le vecteur AB de la translation ;
\item la droite D axe de la symétrie axiale ;
\item le point J, centre de la rotation.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(8,7)
\multido{\n=-18+1}{29}{\psplot[plotpoints=1000]{0}{11}{1.73205 x mul \n \space add}}
\multido{\n=0+1}{29}{\psplot[plotpoints=1000]{0}{11}{\n \space 1.73205 x mul sub}}
\psplot[plotpoints=1000]{0}{11}{1.732 x mul 2 add}
\multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline(0,\n)(11,\n)}

\def\motif{\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,3)(-0.59,3)(-0.87,2.5)(-0.29,1.5)(0,2)(-0.3,2.5)}
\rput(4.6,4){\motif}\rput(4,6.5){\textcircled{1}}
\rput(2.89,3){\motif}\rput(2.3,5.5){\textcircled{2}}
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](1.17,5)(0.58,5)(0.28,4.5)(0.84,4.5)(1.17,4)(1.75,4)\rput(1.1,4.5){\textcircled{3}}
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](1.44,3.5)(0.28,3.5)(0.,3)(0.28,2.5)(0.58,3)(1.16,3)\rput(0.7,3.2){\textcircled{4}}
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](4.02,2)(3.75,1.5)(4.89,1.5)(5.2,2)(4.9,2.5)(4.62,2)\rput(4.3,1.75){\textcircled{5}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\bigskip
\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

La figure de ce problème est commencée. On complètera la figure au fur et à mesure.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,3)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.5,0.2)(0.2,2.6)%KAO
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){K} \uput[r](4.5,0.2){A} \uput[u](0.2,2.6){O}
\uput[l](0.2,1.4){3} \uput[ur](2.35,1.4){6}
\end{pspicture}
\end{center}

L'unité de longueur est le centimètre. Le triangle OAK est rectangle en K.

On a OK $= 3$ et OA $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que AK $= 3\sqrt 3$.
		\item Calculer l'angle $\widehat{\text{KOA}}$.
		
On pourra utiliser les valeurs exactes suivantes :

$\sin 30\degres = \cos 60\degres = \dfrac12$

$\sin 45\degres = \cos 45\degres = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 60\degres = \cos 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{3} ;\: \tan 60\degres = \sqrt 3 ;\: \tan 45\degres = 1$.
	\end{enumerate}
\item La perpendiculaire en A à la droite (OA) coupe la droite
(OK) en B.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que BO $= 12$.
		\item En déduire BK.
	\end{enumerate}	
\item C est le symétrique de A par rapport à la droite (OB).

Quelle est la nature du triangle ABC ? (Justifier la réponse).
\item H est le point du segment [BK] tel que BH $= 6$.

La perpendiculaire en H à la droite (OB) coupe le segment
[BA] en I.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de HI.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère HAOC ? (Justifier la réponse).
	\end{enumerate}	
\item Soit L le point défini par $\vect{\text{AL}} = \vect{\text{KO}}$.

Démontrer que le quadrilatère OHAL est un losange.
\end{enumerate}
\end{document}