\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Clermont-Ferrand septembre 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{septembre 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Clermont-Ferrand septembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux demi-droites, A$x$ et A$y$, faisant entre elles un angle de $60\degres$ , B un point de A$x$ tel que AB $= 4$~cm et C un point de A$y$ tel que AC $= 4$~cm.

D'un point M de A$x$ tel que AM $= x$ on trace la parallèle à (BC) qui coupe A$y$ en P{}.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en fonction de $x$ le périmètre $y$ du trapèze MPCB :
	\begin{enumerate}
		\item quand M est entre A et B ;
		\item quand M est au delà de B.
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de $y$ quand M décrit la demi-droite A$x$ et représenter graphiquement ces variations.
\item Déterminer $x$ pour que le périmètre du trapèze soit égal à $6$~cm, $10$~cm, $14$~cm.
\item Retrouver les résultats en utilisant le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de centre O de rayon $R$ dans lequel on trace une corde [BC] de longueur égale au côté du triangle équilatéral inscrit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comment, à l'aide du compas et de la règle, tracer rapidement [BC] ?

Quelle est la mesure de BC en fonction de $R$ ?
\item Un point A décrit l'arc $\widearc{\text{BAC}}$ de longueur supérieure à celle du demi-
cercle.

La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ coupe (BC) en D et le cercle $\mathcal{C}$ en M.

\begin{enumerate}
\item Montrer que M est un est  point fixe.

\item Montrer que l'angle $\widehat{\text{A}}$ est constant.

Quelle est sa mesure ?
\item Montrer que 
\begin{center}MC$^2=$ MD $\times$ MA.\end{center}
\item Dans le cas particulier où BC = MA $= R\sqrt 3$, 
quelle est la valeur de AC ?

Quelle est l'aire du triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}