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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Clermont-Ferrand}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Clermont-Ferrand~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\medskip

Le périmètre d'un triangle ABC est égal à $20$~cm.

Les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB] sont respectivement désignées par $a$, $b$, $c$.

$a$, $b$, $c$ sont proportionnels aux nombres 4 ; 3,5 ; 2,5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs  $a$, $b$, $c$.
\item La parallèle à (AB) menée par un point M du côté [BC], situé entre B et C, coupe (AC) en D.

Calculer en fonction de BM $= x$, le périmètre $y$ du trapèze ABMD.
\item Représenter graphiquement les variations de la fonction:

\[y = \dfrac{5}{4}x + 10\]

lorsque $x$ varie de 0 à 8.
\item Trouver sur le graphique, puis par le calcul, la valeur de $x$ pour que le périmètre du trapèze soit égal 15~cm. Où est alors le point M ?

\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Soit un cercle de diamètre [AE] tel que  AE $= 2R$ et de centre O.

Soit [BC] une corde perpendiculaire à (AE) en un point D milieu de [AO].

Une sécante issue de A coupe (BC) en M et le cercle en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ADM et ANE sont semblables.
\item En déduire que AO est moyenne proportionnelle entre
AN et AM.
\item En utilisant cette propriété de AO, préciser la position de
AO par rapport au cercle circonscrit au triangle MON.
\item Si AM $= \dfrac{2R}{3}$, calculer MD,\, AN,\, MN,\, ME.
\end{enumerate}
\end{document}