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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small septembre 1976}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}

(1)\quad - 2x + y + 3&=& 0,\\
(2)\quad \phantom{- 2}x + y- 3 &=& 0.
\end{array}\right.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement dans un même repère \Oij{} l'ensemble des solutions de chacune des équations (1) et (2).
		\item Vérifier sur ce graphique le résultat trouvé dans la première question.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B. -} Utiliser pour la deuxième question une feuille millimétrique.

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item L'unité choisie dans le plan est le centimètre.

On considère un triangle (A, B, C) tel que

\[d(\text{A, B}) = \dfrac{15}{2}, \quad  d(\text{A, C}) = \dfrac{15\sqrt 3}{2},\quad  d(\text{B, C}) = 5.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle. (On précisera l'hypoténuse de ce triangle.)
		\item Construire, en vraie grandeur, le triangle
(A, B, C). (Laisser visibles sur la figure les constructions faites.)
	\end{enumerate}
\item Marquer les points E et F du segment [BC] tels que $d$(B, E) = $d$(E, F) = $d$(F, C).

En déduire la construction des points I et D du segment [AC] tels que

\[\vect{\text{AI}} = \dfrac13\vect{\text{AC}}\qquad \text{et}\qquad  \vect{\text{AD}}= \dfrac23\vect{\text{AC}}.\]

\item On considère le point B$'$ défini par

\[\vect{\text{BB}'} = 2\vect{\text{BA}} + \vect{\text{AD}}.\]

Démontrer que $\vect{\text{BB}'} = 2\vect{\text{BI}}.$

En déduire une construction simple du point B$'$.
\item Démontrer que (B, A, B$'$, D) est un parallélogramme.

En déduire que les points B$'$, D et F sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}